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数C⑥ 複素平面

複素数平面 ふくそすうへいめん;ガウス平面 Complex plane; Z-plane
複素数を平面に表したものを複素数平面といいます。複素数を平面に表すとは、平面上の点が複素数と対応しているという意味です。
複素数というのは「a+bi」という形で表される数でした。このaを(直交座標の)x軸、bをy軸にとると、中学から学んできている座標平面と同じように考えることができます。こうすることにより、複素数と平面上の点と対応することになります。

実軸 じつじく Real axis
複素数平面において、x軸のことを実軸といいます。実軸というのは、複素数「a+bi」のa、つまり実数をこの軸に取るからです。

虚軸 きょじく Imaginary axis

複素数平面において、y軸のことを虚軸といいます。虚軸というのは、複素数「a+bi」のbをこの軸に取るからです(b自体は実数です。b×虚数単位を「虚数」といいました)。

極形式 きょくけいしき Polar form

複素数平面上の点(つまり複素数)を極座標の形式で表したものを極形式といいます。具体的には:
r = (cosθ+i sinθ) 
という形のことです。rは原点から複素数(の点)までの距離、θは偏角(正のx軸を始線としたときに、始線とrがつくる角のこと)、iは虚数単位です。
(これに対し、z = x+yi のような形は「直交形式」と呼ばれることもあります。(wikipediaより)


ド・モアブルの定理 De Moivre's formula

複素数と三角関数を結びつける定理です。
内容としては、整数nと実数xに対して:
(cos x + i sin x)^n = cos (nx) + i sin (nx)
が成り立つ、というものです。xをθと置いてあることも多いです(この場合θはラジアンです。)
数学的帰納法と三角関数の加法定理を使えば証明することができます。

アブラーム・ド・モアブル(Abraham de Moivre [ abʁaam də mwavʁ]); 1667 – 1754)はフランスの数学者です。


オイラーの公式 Euler's formula

(オイラーの公式は大学で本格的に学ぶものですが、この公式から簡単にド・モアブルの定理や三角形の加法定理が導けるのでここで紹介しておきます(導けるといっても、オイラーの公式を使ってそれらを証明するわけではないです。)

指数関数と三角関数、そして虚数を結びつけた
e^ix = cos x + i sin x
という式をオイラーの公式といいます。

この公式にx=πを代入すると:
e^iπ = cosπ + i sinπ
となり、cosπ= -1, sinπ= 0, ですから:
e^iπ = -1 + 0
-1を両辺に足して(=-1を左辺に移項して):
e^iπ + -1 = 0
という式になります。
この式は「オイラーの恒等式(Euler’s identity)」と呼ばれ、自然対数の底e・虚数単位i・円周率π・1と0という最も基本的な数字、を結びつけた式として大変有名です。全く違う目的で研究されてきた自然対数・虚数・円周率を結びつけたものとして、数学の神秘性を語るときにこの式が紹介されることも多いです。

レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler [ˈɔʏlɐ]; 1707 – 1783)はスイスの数学者・物理学者です。18世紀最大の数学者と称されることも多いです。
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