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数C③ 曲線

円錐曲線 えんすいきょくせん Conic section; Conic / 2次曲線 にじきょくせん Quadratic curve
円、楕円、放物線、双曲線などは円錐曲線(または2次曲線)と呼ばれます。なぜ円錐曲線と呼ばれるかというと、2つの円錐の頂点がくっつくようにした図形を切ったときの断面にこれらの曲線が現れるからです。また、なぜ2次曲線かというと、平面上でこれらの式は:
ax^2+by^2+2cxy+2dx+2ey+ f = 0 (a, b, c, d, e, fは定数)
という2次方程式で表されるからです。

上の式が一般的な式ですが、個々の曲線が必ずこの形で表されるわけではなく、定数が0であって、その項が消えてしまう場合には、その項はいちいち書きません。例えば、放物線を表す場合、
y^2 = 4px  (pは定数)
などと書かれることも多いです。これは、4pxを両辺から引いてあげると(=4pxを左辺に移項すると)
y^2 -4px = 0
となります。
上の2次方程式の「a=0, b=1, 2c = 0, 2d = -4p, 2e = 0, f =0」の場合です。このように、定数が0になってしまう場合にはその項を省略します。

円錐曲線は古くから研究されています。この研究で有名なのは、アポロニウスです。
アポロニウス (Apollonius of Perga; 紀元前262 – 紀元前190)は古代ギリシャの幾何学者・天文学者です。


放物線 ほうぶつせん Parabola [pəˈræbələ]; 複数形 Parabolae; Parabolas)
放物線というのは中学のときから学んできた馴染みのある曲線ですが、数Cでは放物線をしっかり定義することから始めます。

放物線の定義は「平面上で、定点Fとそれを通らない定直線lとから、等距離にある点の軌跡」とされています。この点Fを放物線の焦点(Focus;複数形 Foci) といいます。直線lを放物線の準線(Directrix)といいます。

放物線の焦点が利用されている例としては、パラボラアンテナがあります。パラボラとは「放物線」という意味です。パラボラアンテナに入ってきた光が、アンテナ内で反射され焦点にあつまります。


楕円 だえん Ellipse
楕円というのは、綺麗な円をちょっと押しつぶしたような形のことですが、数学上の正確な定義は「2定点F, F´からの距離の和が一定であるような点Pの軌跡」です。
2点F, F´を「楕円の焦点」といいます。楕円の焦点の中点を「楕円の中心」といいます。

また、「円を押しつぶしたような」というのを数学的に正確にいうと、「楕円は円をx軸またはy軸方向に拡大または縮小したもの」ということができます。

楕円の実生活への応用については、惑星の軌道が楕円になっています。物理を学ぶと「ケプラーの法則」という惑星の運動に関する法則を学びます(高校物理Ⅱの範囲です)。この法則の理解には楕円に関する知識が必要になってきます。
ケプラー (Johannes Kepler[ˈkɛplɐ]; 1571 – 1630)はドイツの数学者・天文学者・占星術師です。


長軸 ちょうじく Major axis; Transverse diameter
原点を中心に楕円を書いたときに、x軸とy軸と交わる点を「楕円の頂点」といいます。この頂点をそれぞれ結んだときに(すなわち、線分が2つ現れます)、長い方の線分を「長軸」といいます。

短軸 たんじく Minor axis; Conjugate diameter
楕円の頂点を結んだ2つの線分のうち、短いほうの線分を「短軸」という。

双曲線 そうきょくせん Hyperbola
双曲線は中学の反比例のときからの付き合いですが、正確な定義は「平面上で2定点F, F’からの距離の差が一定であるような点の軌跡」になります。



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