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数Ⅲ⑧ 積分法の応用&微積分の発展事項

面積・体積
数Ⅱで曲線とx軸に囲まれた面積を求めてみました。数Ⅲではそれを発展させ、2つの曲線に囲まれた部分の面積を求めてみます。そして、この単元では「xとy軸」を入れ替えたものが登場してきます。今まで積分をするときにはxについて積分をしてきましたが、yについて積分をしてみることになります。といっても計算方法は同じです。大学生になるとどの変数について積分するか、というのは重要になってきますので、今まで「~について」という言葉を抜かして「微分・積分」という用語を使ってきた場合は、これを期に「~について」という言葉をしっかり使えるように意識していけると良いと思います。

また、体積を定積分で求めてみる問題にも出会うことになります。が、求めたい図形の断面積を積分すればいいだけなので、今までやってきたことが理解できていればすんなりいけると思います。また、回転体の体積を求める問題もやります。これも断面積を積分すればいいのですが、その断面積は「回転させたら円が現れる」という中学3年生でやってことを思い出せば簡単に理解できると思います。

この単元を学ぶことによって、中学生のときに習った「錐体の体積は、柱体の体積の3分の1」になることの確認ができます。錐体というのは、断面が底面と相似です(柱体もですが)。そして、相似である図形の面積比というのは相似比を2乗したものである、ということも中学3年(もしくは高校1年)で習いました。よって、底面を表す文字を使って断面積を表した場合その文字を2乗したものが表れます。そして、それを積分するので3分の1
が残るのです。

また、円周の長さを半径を表している文字について、0から求めたい半径の長さまで積分すれば「円の面積」になります(もちろん「円の面積」を微分すれば「円周の長さ」になります)。そして、「円の面積」を積分すれば「球の体積」になります。


発展事項

曲線の長さ きょくせんのながさ
積分を応用して、平面上に書かれた曲線の長さを求めることができます。この曲線の長さを考える問題は、大学で学ぶ「曲線に沿って積分する」という「線積分(せんせきぶん)」に繋がっていきます。

この箇所はdx, dyなどを普通の文字のように考えることによって、簡単に思えるようになると思います。

媒介変数を利用したものが問題になっていることが多いかと思いますが、まずは媒介変数を使わない場合から考えたいと思います。
f(x) = y という関数があって(xを入力したらyという結果が出てくるということです)、それをグラフにしたとします。このグラフが曲線になった場合、そのグラフのある地点AからBまでの距離sを考えてみます。その曲線の長さを無限に小さくしたときの長さをdsとすれば、それらを全部足し合わればsになります。つまり:
∫ds = s
です。
このdsの長さはわからないので、dsをxやyで表せられないかを考えます。ここで利用するのは、直角三角形の斜辺の長さを求めるピタゴラスの定理(三平方の定理)です。dxとdyが底辺、対辺であり、dsが斜辺である直角三角形であると考えれば:
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2
です(ピタゴラスの定理より)。
dsというのは三角形の長さですから、負の値にはなりません。よって:
ds = √{(dx)^2 + (dy)^2}
と書けます({ }の中全体が根号の下にあります)。ただ右辺が∫…dxの形になっていないので、そうなるように変形してあげます(数学的な正確さを欠きますがイメージ的なものだと思ってください)。どう変形するかというと、両辺に(dx / dx)をかけてやります。(dx /dx)は1なので、両辺の意味は全く変わりません。

よって、
√(1+(dy /dx)^2 をxについて積分すれば、曲線の長さSがわかります。


次に、媒介変数が使われている場合を説明します。
x, yがともにtの関数であるとし、それぞれf(t), g(t)だとしておきます。
ds = √{(dx)^2 + (dy)^2}
をdtを使って、tで積分するような形にもって行きます。具体的には両辺に(dt /dt)を掛けます。(dt / dt)は1なので、両辺の本質的な意味は変わりません。変形のやり方は、媒介変数を用いない場合と一緒です:





物理との関係
変位 へんい Displacement
位置の変化のことを変位といいます。変位は「方向と大きさを持った量」、すなわち「ベクトル」です。変位の方向は気にせず、大きさに着目したものが「距離(道のり)」になります。

距離 きょり;道のり みちのり Distance
変位というベクトルの大きさが距離になります。

速度 そくど Velocity
単位時間(決まった時間)のうちどれだけ位置が移動するかを示したものです。速度は「方向と大きさ」をもつベクトルです。速度を時間で積分すると変位(へんい)がわかり、速度を時間で微分すると加速度がわかります。

速さ はやさ Speed
速度の方向は無視して、大きさ(スカラー)だけを考えたものを速さといいます。つまり、速度というベクトルの大きさのことです。速さはスカラーなので、方向は無く大きさだけになります。

加速度 かそくど Acceleration
単位時間(決まった時間)のうちどれだけ速度が変化するかを示したものです。加速度は「方向と大きさ」をもったベクトルです。加速度を時間で積分すると速度になり、速度を時間で積分すると変位になります(つまり加速度を時間で2回積分すると変位になります)。

重力加速度 じゅうりょくかそくど gravitational acceleration
地球の重力(大まかに言えば地球が物体を地球の中心に引っ張る力のこと)による加速度のことを重力加速度といいます。物を投げたときや、高いところから物を落としたときにはこの加速度を考慮して問題を解きます。
重力加速度は地球のどの位置にいるかによって微妙に変わりますが、およそ9.8[m /s^2]です(単位は「メートル毎秒毎秒」と読みます)

等速円運動 とうそくえんうんどう Uniform circular motion
ある物体が、同じ速さで円を描いている運動のことを等速円運動といいます。注意すべきなのは、「速さ」は変わっていないけれど、「速度」は常に変わり続けています(速度は方向も考えた量なので、速度が変わっていないとしたら円を描かずに、どこかに物体が飛んでいってしまうことになります)。そして、物体の速度の方向に対して常に垂直な方向、すなわち円の中心の方向に向かって常に加速度が働いている運動でもあります。

重さと質量
重さ(Weight)と質量(Mass)いうのは、科学の世界では別物とされています。重さはベクトルで、質量はスカラーです。


微分方程式 びぶんほうていしき Differential equation

今までの方程式というのは未知の文字の値を求めるものでしたが、未知の関数を求める方程式のことを微分方程式といいます。つまり、微分方程式の解というのは、数ではなく「関数」になります。微分された関数が方程式の中で使われているので、積分を使って微分方程式をといていくことになります。

微分方程式の解の任意定数 びぶんほうていしきのかいのにんいていすう
微分方程式は、微分された関数が式の中で使われているので積分して答え(関数)を求めていくことになります。そして、積分すれば積分定数が出てきますが、これを無視せずに微分方程式の解に足さなければなりません。これを微分方程式の解の任意定数といいます。
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