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数Ⅲ⑦ 積分法

置換積分法 ちかんせきぶんほう Integration by substitution
そのままでは積分が求めにくいときに使われる積分のテクニックの一つです。
置換積分法は本質的には合成関数の微分の逆のことをやってあげる作業になります。
置換という名前の通り、別の文字でその関数と「dx」を置き換えてあげる積分の方法です。

合成関数の微分の復習をします。簡単に言えば合成関数とは「関数に入力されるものが、関数を2回通っている」ようなものを指しました。イメージで考えると:
x ⇒f ( ) ⇒ f(x) ⇒ g( ) ⇒ g( f(x) )
となっていました(関数を表す文字はf, gでなくても良いです)。
xが入力するもの;f( )が1つ目の関数;g( )が2つ目の関数です。
そして、このg( f(x))という関数をxについて微分したい場合は、xが1つ関数を通っているので単純に微分しては駄目で(駄目というか微分するのが難しいので)
{g( f(x) ) }´= g´( f (x) ) × f’ (x)

上の式をdy / dx などで書けば:
(dy / dx) = (dy / du) × (du / dx)
などという風に書けます。

そして、ここから積分の話に戻りますが、上の二式は等式ですから左辺と右辺を同じ変数について積分してももちろん等しいわけです(両辺に同じ作業をしているだけなので)。

このことから、もし積分したいある関数があってそれを直接積分することが難しい、または不可能であったとしても、求めたい積分が合成関数であって、それを微分したら上の式の右辺のように書けるならば積分ができる可能性が出てくるわけです。
すなわち、積分が難しいある関数というのが上の式の左辺であるならば、その関数を右辺のように変形してそちらの方を積分すれば、変形前のものを積分したのと同じ結果が出る、ということです(ただし、置換積分がいつでも出来るわけではない、ということは知っておいてください)。どうしてそういうことが可能かという直感的理解としては:

という風に考えれば、duで積分してあげても良いというイメージを持つことができます)。
uをどのような文字を表すかに関しては、被積分関数が:
g ´(f (x) ) × f´(x)
という形になっているとき、u = f(x) と置いてあげます。つまり、被積分関数の形が、uがある関数を通っているものとuを微分したものの積になっているようにuを決めるのです。

例①
∫2x・(x^2+1) ^2 dxを求めてみます。

([^2]は2乗という意味です)
上の被積分関数(積分される関数)をそのまま単純に積分する方法を知らないわけですから、求めたい積分が合成関数であって、それを微分した形に被積分関数がなっていないかを考えてみるのです。被積分関数に二つの因数がある場合に(因数分解のときと同じでカッコの中にあるものは全体で1つと考えます)、どちらかを微分したら他方にならないかと考えます。
被積分関数にある因数は、「2x」と「x^2+1」です。ここで、「x^2+1」は微分したら「2x」になることがわかります。ということは、被積分関数はu =x^2+1と置いてあげればよいと考えられます。そしてuで被積分関数を置き換えてやると:
∫u^2・(du / dx) dx
となります。(du /dx)と書いたのは、dx同士が消しあうのがイメージしやすいからです。すなわち:
∫u^2 du
と書けます。
よって、これはただ単純にuについての積分ですから
(1 /3)・u^3 +C
となります。Cは積分定数です。ここで、もとの積分はxについてのものでしたので、uをxの式に戻してやります。u = x^2+1と置いていたのですから
(1 /3 )・(x^2+1)^3 +C
が答えになります。

注 教科書や参考書では「 u=x^2+1」と置いた後に、
(du / dx) = 2x,
両辺にdxを掛けて
du = 2x×dx
として:
∫2x・(x^2+1)^2 dx (最初の式です)
= ∫(x^2+1)^2 2x dx (上の式の計算の順序を交換しただけ)
=∫u^2 du (x^2+1と2xdxをu, duで置き換えた)

とすることもあります。やっていることは上で説明したのと同じことなのです。この場合「形式的に」両辺にdxを掛けたように書いても良いという注意書きが必ず載っていると思います。これは、数学的には「dx」などを分数と全く同じように扱ってはいけないためです。しかし、高校生レベルでしたらdxなどは分数のように扱ってもいいと考えると理解が進むかもしれません。


例②
∫(5x+1)^3 dx を求めてみます。

例①のように因数を考えてみると、因数は「5x+1」の1つしかありません(累乗は考えないので)。このような場合でも無理やり例①のような形にしてしまえます。
「5x+1」をuとすると、u´= 5 です。よって、例②の被積分関数は
(5x+1)^3×5×(1 /5)
と変形できます。5×(1 /5)というのは1ですので、もとの被積分関数のままです。この
(5x+1)^3×5の部分が f(u)×(du /dx)になっています。
よって、例②の式は
∫(5x+1)^3×5×(1/5) dx
と書けます。

ここで、(1 /5)というのはxが入っていない定数ですので積分に関係なく、∫の記号の外に出せますから:
(1 /5) ×∫(5x+1)^3×5 dx
=( 1/5) ×∫u^3×(du /dx) dx
=(1/5) ×∫u^3 du
=(1/ 5) ×(1/4) u^4 +C (Cは積分関数)
= (1 /20) u ^4 +C
u = 5x+1というのを元に戻し:
1 /20 (5x+1)^4+C
というのが答えになります。


例③
∫x (x-1)^3 dx
を求めてみます。

因数を見てみると「x」と「x-1」の2つです。しかし、どちらかを微分しても他方にはなりません。こういう場合でもuで置き変えて積分できる場合があります。この例では「x-1」をuと置きます。「x-1」というのは3乗されているので、そっちをuにした方が被積分関数がすっきり表されるからです。uをこう置くともう一つの因数であるxは「u+1」と置くことができます。また、u´=(du /dx)=1です。よってこの不定積分は:
∫(u+1)×u^3 ×(du / dx) dx
と書けます。
よって:
∫(u+1)u^3 du
= ∫u^4 + u^3 du (単純に掛け算をしてカッコをなくしました)
= (1 /5)u^5 + (1/4) u^4 + C (Cは積分定数)
uをもとに戻して:
(1/5) (x-1)^5 + (1/4) (x-1)^4 +C
というのが答えです。


上で紹介した例①~③はすべて不定積分でした。定積分で置換積分法を用いる場合、uで置き換えた後に、積分区間をuで考えたものに変えてあげなければなりませんので注意して下さい。uでの積分区間はuの式にxでの積分区間(xについて積分する場合です)を代入してあげればよいです。例えば積分区間が「x=0 からx=2」までだったとします。そして、uが例えば「u-1」だったとしたらuで置き換えたあとの積分区間は「u = -1からu=1」までになります。




部分積分法 ぶぶんせきぶんほう Integration by parts

そのままでは積分が求めにくいときに使われる積分のテクニックの一つです。部分積分法は積の導関数を求めることの逆をやってあげる作業になります。

積の微分を復習します。
xについての2つの関数f(x), g(x)があって、微分したい関数がf(x), g(x)の積である関数であるならば:
{f(x)×g(x) }´= f´(x)×g(x) + f(x)×g´(x)
となります。
f(x)をu, g(x)をvと置けば:
(uv)´=u´v+uv´
となって多少すっきりします。

ここで、上の式は等式ですから、もちろん左辺と右辺は等しく、同じ作業を両辺にしてあげたならばその結果も等しくなります。両辺を同じ変数について積分してあげると(ここでは一番基本的なxで積分します。もちろん問題によっては何で積分するかは違ってきます。):
∫(uv)´dx = ∫( u´v+uv´)dx
となります。
ここで、右辺に注目すると右辺は足し算の積分ですから、積分の性質により(数Ⅱの復習です):
右辺=∫(u´v) dx +∫(uv´)dx
と書けます。
また、左辺というのはuvをxについて微分した後にxについて積分する、と言っているので結局uvに戻ります。

よって:
uv =∫(u´v)dx +∫(uv´)dx
です(左辺を積分したら積分定数が出てきますが、今は見にくくなるので省略します)

この右辺の2つの項を左辺に移項すれば
・uv-∫(u´v)dx = ∫(uv´)dx
または
・uv-∫(uv´)dx = ∫(u´v)dx
となります(上のも下のも意味は一緒です。どっちを移項するかを変えただけなので。)

そして、この右辺と左辺を入れ替えてやると
①∫uv´dx = uv -∫u´vdx
または
②∫u´v dx = uv - ∫uv´dx
となります。これが部分積分の公式になります(おそらく①の形を紹介する教科書・参考書が多いと思います。上に書いたように①と②の意味は一緒です。)

ここから具体的な積分の話に戻ります。上の公式を説明すると、被積分関数が2つの関数の積になっていて、片方の関数が簡単に積分でき、かつ、他方の関数が簡単に微分できるならば、その被積分関数を積分できるといっているのです(2つの関数のうち、一方の関数を微分・積分できるかを考えるのではなくて、どっちか一方を微分できるのであれば、積分ができるかどうかを考えるのはもう一方の方です。)

例.
∫x・cos x dx
を求めてみます。まず、2つの因数の積になっているので、部分積分法が使えそうです。
ここで、「x」と「cos x」がxについての微分と積分が簡単かどうか考えると
「x」をxについて微分 ⇒ 1
「x」をxについて積分 ⇒ (1 /2) x^2

「cos x」をxについて微分 ⇒ -sin x
「cos x」をxについて積分 ⇒ sin x

となっています。ここで、上に書いた部分積分の式のu, vに選んでも単純になりそうですが、「x」をxについて微分したときに「1」になって簡単そうなので「x」が微分されるような側、つまりuと置き、cos xを「v´」と置きます。
部分積分の公式は:
∫(uv´) dx = uv - ∫(u´v) dx
でした。

u, vの確認をしておくと
u = x
v´= cosx
v = sin x
u´=1

です。これを当てはめてあげれば良いので:
∫x・cos x dx = x・sin x +∫1・sin x dx
となります。
後は、計算です。
右辺=x・sin x+∫sin x dx
= xsin x + cos x +C (Cは積分定数)
となり、これが答えになります。
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