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数Ⅲ⑥ 微分の応用

法線 ほうせん Normal line
ある点の接線に対して垂直な線のことを法線といいます。ある点において、その点の接線の傾きと法線の傾きの積は必ず「-1」になります。

楕円 だえん Ellipse
綺麗な円ではなく、ちょっとつぶれた形をしているものを楕円といいます。
高校物理で、惑星の公転軌道(太陽の周りを回るときの通り道)は綺麗な円ではなく、楕円であることを学びます。
楕円は数Cで他の曲線とともに深く学びます。

ロピタルの定理 ろぴたるのていり L'Hôpital's rule
不定形の極限を求めるための定理です。ロピタルの定理は教科書などでは紹介されていない場合があります。

xが独立変数(入力するもの)である2つの関数f(x), g(x)があって、xがある値に近づくときの f(x) の極限と、xがその値に近づくときのg(x)の極限が共に0または共に∞のときには、xがその値に近づくときの f(x) / g(x) という商の極限は、xがその値に近づくときのそれぞれの関数をxで微分したものの商 f´(x) / g´(x)の極限に等しい、というものです(ただし、f’ (x) / g´(x)の極限が存在しているという条件がつきます。

ロピタルの定理は(条件をみたすなら)繰り返し使ってもいいです。繰り返し使うとは、f(x)とg(x)を2回微分したものの商とも等しくなる、3回微分したものでも良い…、ということです。

ロピタル Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital( [maʁki də lopiˈtal] ( 1661?– 1704)はフランスの数学者です。彼の著作でこの定理が紹介されたことが「ロピタルの定理」という名前の由来なのですが、この定理は彼自身ではなくヨハン・ベルヌーイの発見だと考えられています(ロピタルとベルヌーイの間で、研究結果を本に載せてもいいという契約があったようなのです)。

ヨハン・ベルヌーイ Johann Bernoulli (1667 – 1748)はスイスのベルヌーイ一家の一員です。自然対数の底「e」の項目で紹介したヤコブ・ベルヌーイの弟になります。


平均値の定理 へいきんちのていり Mean-value theorem

平均値の定理も存在定理の一つです。この定理も、高校で習うほかの定理と同様「まぁ、そうでしょ」という感じで思ってくれればよい定理です。不等式を解くときや、他の定理の証明などで使われる定理です。おそらく、大学に行ってからの方が重要性がわかる定理だと思います。…というか平均値の定理にもいくつか違うバージョンがあるというのを大学で習います。)

内容としては:
ある関数があって、もしもその関数が、区間[a, b] で連続、かつ、区間(a, b)で微分可能であるとするならば、
{ f (b)-f(a) }/ (b-a) = f´(c) , (a<c<b)
を満たすcが存在する

というものです。
文章で説明していきます。まず、区間[a, b]で連続であるというのは、a≦x≦bの範囲のすべてのxの値でグラフが滑らかに繋がってますよ、と言っています(もっと正確に言えば、関数f( )にどんなxの値を入れても、その関数の結果と、xがその値に近づくときの極限が一致しますよ、ということです。連続関数の項目の復習です。

区間(a,b)で微分可能というのは、a<x<bの範囲のすべてのxの値で、微分係数を求めることができますよ(=微分できますよ)ということです。(区間[a, b]と(a, b)の違いに注意して下さい。数Ⅱの復習になります。)

それで、もし上の2つの条件をある関数が満たしているならば、aからbへの「平均の変化率」と等しくなるような「瞬間の変化率(=微分係数)」を持っているcという値がaとbの間にある、というのが平均値の定理です。

{ (f(b)-f(a) / (b-a)}という式は、「(関数の結果の増加量)÷(関数に入力するものの増加量)」という意味ですから「平均の変化率」を表しています。グラフで考えれば、f(a)とf(b)を真っ直ぐ結んだ直線のことです。

f´(c)というのは、x=cのときの微分係数ですから、f(c)の接線を表しています。これが平均変化率と等しいといっているのですから、aとbを結んだ直線と、f(c)の接線が平行になりますよ、と言っています。


ロルの定理 ろるのていり Rolle’s theorem
ロルの定理も存在定理です。平均値の定理に内容が似ていて、この定理を使って平均値の定理を証明することができます。

ロルの定理の内容は:
ある関数があって、もしもその関数が区間[a,b]で連続であり、かつ、区間(a, b)で微分可能であり、かつ、f(a) = f(b)であるならば、
a<c<bの範囲で(つまりaとbの間に)f´(c) =0
となるcが存在する

というものです。

f(a) = f(b)というのは、関数にaを入力したときの結果と関数にbを入力したときの結果の値が等しいということです。つまり、f(a)とf(b)を直線で結ぶとx軸と平行な直線になっています。

そして、f´(c) = 0というのは、x =cにおける微分係数が0ということですから、f(c)という点の接線の傾きがゼロ、すなわちx軸と平行になると言っています。

ロル Michel Rolle (1652 – 1719)はフランスの数学者です。ロールと書かれることもあります。


変曲点 へんきょくてん Inflection point
ある関数の変曲点とは、ある関数の「接線の傾きの符号が入れ替わる点」のことになります。つまり、曲線の「曲がり具合が変化する」境目の点のことを変曲点といいます。変曲点での「接線の傾き」は必ず0になります(ただし、この逆は必ずしも正しくありません。接線の傾きが0であってもその点が変曲点でない可能性があります)。

近似式 きんじしき Approximation
近似とはその名の通り、「近くて似ている」という意味であり、近似式というのは「正確な値は出せないけれど、その値に近い値はこれで出せるよ」という式のことです。

近似式では、「ほぼ同じ」という意味を表すために「≒」という記号が使われます。(英語圏では、二重の波線の記号「≈」が使われることが多いです。)

数Ⅲで習う近似式は、大学1年で習う「テイラー級数やマクローリン級数」という、関数を級数(数列の箇所で習った、和のこと)の形式で近似する、というものに繋がっていきます。
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