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数Ⅲ④ 微分法

微分可能 びぶんかのう Differentiable
ある関数があって、ある値aのときの微分係数が存在するとき、その関数はx =aで微分可能であるといいます。
「微分をする」とは微分係数という瞬間の変化率を求めることなので、微分係数が存在しているならば微分をすることができますよ、と言っているだけです(微分係数が無ければ微分はできません)。

普通、微分可能の点ではその関数は連続である、といえます(この逆は必ずしも成り立ちません。すなわち、ある点でその関数が連続であってもその点で微分できない場合があります。)連続であることと微分可能の定義を両方とも極限を使って定義して、それを一緒に紹介されることも多いかと思います。どっちがどっちの定義だったか混乱しそうになったら、複雑な式の方が微分可能だ、というイメージを持ってくれればよいと思います。そして、微分可能の方が成立が難しいのでもしそれが成り立つなら簡単な方の「連続である」ことも言える、ただし、簡単な方(連続である)から難しい方(微分可能)は必ずしも成り立たない、と思ってください。


区間で微分可能 くかんでびぶんかのう
関数があって、その関数がある区間のすべてのxの値で微分が可能であるならば、その関数はその区間で微分可能である、といいます。

積の導関数 せきのどうかんすう

xに関するある2つの関数(例えばuとvと置きます)があって、その関数同士の積(u×v)を微分した場合の導関数は、「[uの導関数]×v+ u×[vの導関数]」と等しくなります。
数式で書くと:
(uv)´= u´v+uv´ 
(「´」は「微分する」ということを意味しています。ここでは「x」で微分しています)


商の導関数 しょうのどうかんすう
商の導関数は、2つの関数の積の導関数の求め方と、このすぐ後にやる合成関数の微分の方法を覚えておけば暗記する必要はなくなります。なぜなら、分母の方の式を「負の指数」を使って書き直せば、もとの商の形から、積の形に直すことができ、積の導関数を求められばよくなるからです。合成関数の微分の方法を知らないとそこから進めなくなくなりますが、合成関数の微分というのはこれから先も重要になってきますので、商の導関数の暗記に時間をかけるくらいならば、合成関数の微分の理解に努めた方が後々楽になると思います。下の合成関数の項目の中で、商の導関数を求める例を出そうと思います。

合成関数の導関数 Chain rule
合成関数とはなんだったかというと、最初に入力するものが2つの関数を通りぬけるというものでした。2つの関数をそれぞれ「f( ), g( )」としてみると:
x ⇒ f( ) ⇒ f(x) ⇒ g( ) ⇒ g(f(x))
というイメージになります。
ここで、わかりやすいように、それぞれの関数の結果を「u, y」という1文字で置き換えてあげると:
x ⇒ f( ) ⇒ f(x) ⇒ g( ) ⇒ g(f(x))

x ⇒ f( ) ⇒  u  ⇒ g( ) ⇒  y

となります。ここで、「yとxの導関数(瞬間の変化率(dy / dx))を求めたい!」と思ったとしても、間にuが入っているわけですから今まで通りただ単純に微分することはできません。そこで利用するのがこの合成関数の微分です。
(説明のために、導関数と瞬間の変化率を同じ意味で使ってます。そっちの方がイメージしやすいと思うので。)

内容としては:
「yとxの瞬間の変化率=(yとuの瞬間の変化率)×(uとxの瞬間の変化率)」
ということになります(この公式の証明は、極限の性質を利用した結構単純なものです)。
数式で書けば:
(dy / dx) = (dy / du)×(du / dx)

となります。ここで右辺に着目すれば分数の計算のようにduが打ち消しあって左辺になっていると考えることができるので、仕組みが理解できているならばとても暗記しやすくなります。数Ⅱの微分の箇所で書きましたが、「dy, dxなど」は「dとその後に来る文字を離さず、セットで扱うことに気をつければ文字のように扱った方が理解が早いです。
(数Ⅱの微分の箇所の記事を読んでいないかたは、そちらをご覧になってみてください。)


例①

「y = 1 / (x^2+1)」をxについて微分してみます。分子が「1」で、分母が「xの2乗+1」という関数の式になっています。
まず右辺を累乗の形に直します:
y = 右辺 = (x^2+1)^-1 
となります。最後の「^-1」は-1乗を意味しています。指数が負の数であるという意味がわからない場合は、数Ⅱの「指数関数」の単元の「指数を負の数にまで拡張する」という箇所を復習して見てください。

イメージの確認をしてみると:
x ⇒ f( ) ⇒ f(x) ⇒ g( ) ⇒ g(f(x))

x ⇒ f( ) ⇒ u ⇒ g( ) ⇒ y

x ⇒ f( ) ⇒x^2+1 ⇒g( )⇒ (x^2+1)^-1

入力されるxが、「入力したものを2乗したものに1を足す」関数と「入力したものを-1乗する」関数の、2つの関数を通っているということです。

ここで、(dy / dx)を求めたいといっているわけです。
一気にやるとごちゃごちゃするので、(dy / du)と(du / dx)を別々に求めてみます。

まず、(dy / du)を求めてみます。この場合にy「(x^2+1)^-1」をu「(x^2+1)」で微分するというのは、「x^2+1」を1文字で表して、それを数Ⅱのときのxのように単純に微分してあげる、と言っているだけです(つまり数Ⅱのときのxの代わりにuが使われているだけだと思えばいいのです)。

(u^-1)´=-1×(u)^-2 = -u^-2
となります。
ここでuをx^2+1に戻してやれば、「-(x^2+1)^-2」となります。これが(dy / du)の値です。

(du / dx)は、u「x^2+1」をxで微分するだけです(数Ⅱでやってきた単純な微分です)。よって:
(du / dx) = 2x
になります。

(dy / dx )は「(dy / du) ×(du / dx)」ですから:
{-(x^2+1)^-2}× 2x = -(2x) / (x^2+1)^2

となって、dy / dxを求めることができました(分母は展開しなくて良いです。また、-の符号は分数の外に出しても出さなくてもどちらでもいいです)。
まとめ↓








例②

「y = (x+1)/ (x^2+1)」をxについて微分してみます。
まず、負の数の指数を使って、分数の形ではないようにすると:
y = (x+1)×(x^2+1)^-1
です。これは、積の形になっているので、積の導関数を求める公式を使えば:
(dy / dx) = {(x+1)´×(x^2+1)^-1}+(x+1)×{(x^2+1)^-1}´
となります。

ここで、(x^2+1)^-1というのは合成関数ですので、例①のように(というか同じ式ですが…)微分すればよいわけです。商の導関数の項目で、商の導関数の公式は暗記しなくてもよい、といったのは、このように積の形に直すことができるからです。


合成関数の微分の公式は、英語圏では「Chain rule」と呼ばれることが多いです。
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