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数Ⅲ③ 関数の極限

関数の収束・発散
関数の数列や発散も数列と同じ考え方です。
f(x)という関数があって、xがある値に近づくときに、xを関数に通した後の結果がある特定の値に近づくならその関数は収束するといいます。収束しない場合、その関数は発散するといいます(数列と違って、振動する関数というのはありません)。

右側極限 みぎがわきょくげん Right hand limit
f(x)という関数があって、xがある値aに、どんどん減りながら近づくとき(つまりグラフの右側からaに近づくとき)の、その関数の極限を右側極限といいます。

左側極限 ひだりがわきょくげん Left hand limit

f(x)という関数があって、xがある値aに、どんどん増えながら近づくとき(つまりグラフの左側からaに近づくとき)の、その関数の極限を左側極限といいます。

xがある値に近づくとき、その関数の極限がある、というためには、右側極限と左側極限がまず存在していて、かつ両者が一致しなければなりません。両者が一致していない場合、極限はないといいます。

ガウス記号 がうすきごう Gauss’s notation for floor and ceiling functions

[ ] という記号をガウス記号といいます。そのカッコの中に入れた値を超えない整数の中で、一番大きな整数を与えてくれます(値を入力すれば1通りの結果がでてくるので、これは関数と考えることができます)。
数式で書けば:
[ x ] = n (n ≦ x < n+1)
となります。例えば:
[2. 5] = 2
になります。
注意すべきはこの記号ではさむ数が負の数のときです:
[-2. 5] = -3
となります。
これは図で考えるとわかりやすいです。数直線を1ずつ区切ったときに、入力する値を書き入れてみて、その点の左にある整数がこの関数の結果になります。


ガウスJohann Carl Friedrich Gauss ( [ˈɡaʊs] (1777 – 1855) はドイツ人の数学者・科学者です。数学だけに留まらずあらゆる分野で多大な業績をあげ、彼の名前が残る定理や概念は数多くあります。19世紀最大の数学者といわれることも多いです(というか19世紀だけではなく、人類史上最も才能のあった数学者の一人といわれることも多いです)。

lim (x→0)のとき(sinx)/ x =1 という公式
この公式がいきなり出てきて「なぜこれが必要なの?」と不思議に思う人もいるかもしれませんが、この公式はこの後すぐやることになる「三角関数の導関数」を求めるのに必要になります(教科書・先生によっては、この公式をやってから三角関数の導関数をやるまでにちょっと間があって、この公式の使い道がよくわからないという人もいるかもしれないので一応書いておきました。)

この公式の証明の流れは、扇形とそれより小さい面積の三角形と扇形より面積の大きい三角形の面積の比較からはじまって、はさみうちのの原理を使える形にする、そのとき、右側極限と左側極限で場合分けをする、というものになっています。


連続関数 れんぞくかんすう Continuous function
グラフにしたときに、“穴”がないような関数のことを連続関数といいます。
極限を使って考えると、f(x)という関数があって、xがある値aに近づくときの極限と、f(a) (←xがaの値のときの関数の結果をいう意味です)が一致すれば、f(x)はx=aで連続であるといいます。xがどんな値でも連続である関数を連続関数といいます。

不連続関数 ふれんぞくかんすう Discontinuous function
連続でないことを不連続といいます。不連続な関数をグラフにした場合、そのグラフには“穴”があくことになります。例えば、上で紹介したガウス記号で表される関数は不連続な関数になります。

区間で連続 くかんでれんぞく
関数全体では連続でないかもしれないけれど、xがとる値をある区間に絞って考えた場合にはその区間のどの点でも連続だ、という場合には、その関数はその区間で連続であるといいます。

中間値の定理 ちゅうかんちのていり Intermediate value theorem

中間値の定理は、「まぁ、そうでしょうね…」という感じがする定理だと思います。証明は高校数学のレベルを超えてしまうので、証明も特にされずに紹介されるのが普通です(じゃあ、はさみうちの原理もはさみうちの定理でいいじゃないかと思うんですが、そこらへんの経緯はよくわかりません…。)

定理の内容は:
f(x)という関数があって、もしその関数がa≦x≦bの区間で連続であるならば、f(a)とf(b)の間にあるどんな値を選んだとしても、必ずその値になるcという値がaとbの間に必ず1つ以上はある
というものです。
a, bというのはどんな値でもよいです(関数が連続であるという条件を満たすなら)。f(a), f(b)というのはa, bを入力したときの関数の結果を表しています。cというのはaとbの間にあるxが取る値です。

グラフで説明すると、x軸に平行な直線をf(a)からf(b)の範囲で一本ひくとしたとき、その線をf(a)とf(b)の間のどこに引いたとしても必ず交点が1つ以上あります、と言っているわけです。

この定理を最初に証明したのはボルツァーノだと言われています。
ボルツァーノBernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 – 1848)はボヘミア(現在のチェコ)の哲学者・数学者・論理学者です。

似たような定理にロルの定理や平均値の定理というのがあって、このあと学ぶことになりますが、ごっちゃにしてしまわないよう注意が必要です。

中間値の定理は、cの値がわかるわけではなく、cが存在していることを保証しているだけです。このような定理は他にも色々あるのですが、このような「特定の値はわからないけれど、その値の存在を保証してくれる定理」をすべてまとめて「存在(型)定理;そんざい(がた)ていり」(Existence theorem)と呼んでいます。存在定理の他の例としては、このあと学ぶ「ロルの定理」や「平均値の定理」があります。存在定理という言葉は大学生になるとよく耳にするようになる用語です。

中間値の定理は大学レベルの数学の幾何学の分野などでは利用されるのですが、「まぁそんもんか。数学の問題を解くために学ぶんだな…」というような割り切りが必要な気がします。


最大値・最小値の定理 さいだいちさいしょうちのていり

これも「だから何?」的な感じがする定理です。
定理の内容としては:
閉区間a≦x≦bで連続な関数がある場合、その区間でのその関数の最大値と最小値が必ずある
というものになります。つまり、その閉区間ではf(x)=∞などということには決してならないということです。
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