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数Ⅲ② 数列の極限

数列の極限(値) すうれつのきょくげん(ち) Limit (of a sequence)
ある無限数列(=終わりが無く無限に続いていく数列)があって、その数列がどんどん進むにつれて、ある値に近づいていくとき、その値をその数列の極限(値)といいます。

関数の極限と考え方は一緒です。極限というのは、「ある値になる」という必要はなく、「ある値に近づく」ときの話をしています。また、関数の極限のときと同じように、極限がない数列もあります。

数列の極限を表すときも、「lim」という記号を使います。

関数の極限を考えたときは、xがだんだん増えてある値に近づくときのyの値と、xがだんだん減ってある値に近づいたときのyの値、という風に考えていましたが、数列の極限の場合は項の順番がどんどん大きくなるとき、どんな数になるのか、というのを考えます。
(関数の極限については数Ⅱの微分法のところを復習してみてください)


収束 しゅうそく Convergence
ある数列がある特定の極限値を持っている場合、その数列はその極限に収束するといいます。下の発散の項目に詳しく書きますが、「極限があり、かつ、その極限が特定の値」である場合を収束といいますので、「極限がある」だけでは収束とはいえません。

発散 はっさん Divergence
ある数列が収束しない場合、その数列は発散するといいます。発散は「極限がある発散」と「極限がない発散」にわけることができます。そして、「極限がある発散」はさらに「正の無限大が極限であるもの」と「負の無限大が極限であるもの」に分けることができます。
また、「極限がない発散」のことを「振動」(Oscillation)といいます。

ちょっとここらへんはわかりにくいかもしれませんが、発散にも極限がある場合があるのです。ただ、そのとき極限は「無限大」というものになっています。「無限大」というのは「特定の値」ではないので(というか「数」ではないのです)、収束はしていないと考えます。


無限大 むげんだい Infinity
「∞」という記号で表します。無限大には「正の無限大(∞)」と「負の無限大(-∞)」があると考えます(負の無限大は値が無限に小さい、というイメージですが、無限小などという言い方はしません)。

振動 しんどう Oscillation
極限がない発散のことを、特に振動といいます。つまり、ある数列が「特定の値に収束せず、かつ正または負の無限大が極限ではない」場合、その数列は振動するといいます。

不定形 ふていけい Indeterminate form
極限が求められない(定められない)式の形のことを不定形といいます。具体的には「0 / 0」(=ゼロ分のゼロ)や「∞ / ∞」(=無限大分の無限大)などの形のことです。
前者は「0で割ってはいけない」というルールを破ることになるし、後者は「(∞ / ∞)=1」と単純に考えてはいけないとされています(無限大は数ではないことを思い出してください)。

この形では極限を求めることができないので、式を変形して極限がわかる形に直してあげなければなりません。そのときの式変形は「nの次数を下げる」ということを念頭において、nをくくりだすように因数分解していってあげます。


はさみうちの原理 Squeeze theorem
ある3つの数列a, b, cがあったとします。それらの数列の同じ順番の項(例えば、aの1番目の項・bの1番目の項・cの1番目の項、とか、aの7番目の項・bの7番目の項・cの7番目の項、などということです)を比べたときにいつでも「aの項≧bの項≧cの項」または「aの項≦bの項≦cの項」となっている範囲において、もしも数列aと数列cの極限が同じであるならばbの極限もそれら2つと同じになる、というのがはさみうちの原理です。

この原理は高校レベルの知識では証明できないので「原理」とされています。原理は法則と同じ意味で、何故そうなるかはわからないが必ず成り立つこと、という意味です。大学になるとこれをしっかり証明し「はさみうちの定理」というようになります。

はさみうちの原理といった場合、上の説明からもわかるとおり必ず3つの数列について考えています。いっていること自体は単純に聞こえると思います。真ん中の数列をはさんでいる外側の2つの数列の極限が一緒なら、真ん中の極限も一緒だろう、ということを言っているだけです。ただ、単純ですがbの数列の極限が直説求めにくい場合には強力な武器になります。この原理を使ってbの極限を求めるのです。

はさみうちの原理というのはこのあとやる関数の極限(数Ⅱの発展的内容です)でも成り立つので、その単元でも利用することになります。


無限等比数列 むげんとうひすうれつ Indefinite geometric progression; Indefinite geometric sequence

無限に続く等比数列のことです。おそらく、「r^n(rのn乗)」という数列を学ぶと思います。このrが公比の等比数列はrの値によって、収束か発散かが違ってくるので、その場合分けが最初はとても面倒に思えてしまうかもしれません。簡単にまとめると:
1<r     ⇒ ∞に発散
-1 <r ≦ 1 ⇒ 1か0に収束
r ≦ -1   ⇒ 振動する
というふうに±1が区切りになります。±1が区切りになるということと、r^nという数列の極限は3種類ある、というのを覚えておけば、自分でrに適当な値を代入して数列をかいてみれば簡単に確認ができますので、あまり「場合分けを暗記しなきゃ」とは思わなくても良い箇所です。


級数 きゅうすう Series
「級数」とは「数列の各項の和」のことを意味します。数Bで習ったシグマの記号がここでも活躍することになります(もちろん記号の意味は一緒で、「足し算」を表しているだけです)。

有限数列の級数を有限級数(finite series)、無限数列の級数を無限級数(infinite series)といいますが、級数といった場合、普通は無限級数を指しています。


部分和 ぶぶんわ Partial sum
数列全体でなく、ある項からある項までの和のことを部分和といいます。
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