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数Ⅲ① 関数

分数関数 ぶんすうかんすう;有理関数 ゆうりかんすう Rational function
関数を式にしたときに、分母と分子それぞれが多項式になっているような関数のことをまとめて分数関数(有理関数)といいます。
y = (ax+b) / (cx+d)
が一般形です(a, b, c, dは定数なので、問題により色々な値をとります)。
(基本的な)分数関数をグラフにすると、反比例のグラフを、その漸近線ごと移動させたような形になります。

逆関数 ぎゃくかんすう Inverse function
関数とはあるものを入力したらただ1通りの結果が出てくる、というものでした。そして、ある関数の逆関数とは、もとの関数の結果を入力したら、もとの関数の入力したものが結果として出てくるような関数を指します。

簡単に言ってしまうと、今まではxの値が決まるとyの値が決まっていたんですが、それとは逆にyの値が決まると、xの値が決まるようなものを考えてあげるのです。(ただし、逆関数の式も入力するのはxという文字になるようにします。xを入力、yを結果で統一したほうがわかりやすいのです。詳しくは下でやります。)

逆関数といった場合、必ず2つの関数に着目していて、1つの関数だけでは考えません。お互いがお互いの逆関数になります。

逆関数を考える場合、定義域や値域に十分注意して下さい(ただ単純にもとの関数の結果を逆関数に入力した場合に、逆関数を通した際の結果が1通りではなく何通りも出てきてしまう場合があります。そうなると、それは関数とは言えなくなってしまいます。)

f(x)=yという関数の逆関数の式を求めるには:
①x=~の形に式を変形する(結果が1通りになっているかどうか、定義域と地域をチェックしながらやる)
②その式のxとyの位置を取り替える
という手順を踏めばよいです。

①というのは、xとyの役割を交換してあげたものになります。もとの関数ではxを入力、yを結果と考えていたのですが、yが入力、xが結果という役割になりました。
②でxとyを取り替えることによって、「xが入力、yが結果を表す文字」というのを変化させずに、逆関数を表せたことになります。

例えば、f(x) = y = x^2という関数の逆関数を考えて見ます(x^2はxの2乗という意味です)。
もとの関数は、入力するもの(x)が「1, 2, 3, …」 のとき、「1, 4, 9, …」という結果(y)を出してくれる関数なので、「1, 4, 9, …」という値(y)を入力したら「1, 2, 3, …」という結果(x)を出してくれるような関数を求めたい、といっているわけです。

まず、もとの関数というのはyの値が1つであってもxの値が2つある場合があります(例・x=±2のときy=4)。これは、逆関数の結果が2つ出て来てしまうことを意味しています。よって、x≧0という風に範囲を決めてやります。そうすればxの値が2つあるような範囲はなくなります(範囲の決め方は1種類ではないです。今回の場合ならx≦0という範囲でも問題はありません。大事なのは、逆関数の結果が1通りしかないような範囲にしてあげることです)。
範囲を決めなければならないかどうか、そしてどのような範囲を取ればよいかを考えるには、グラフを利用するのがわかりやすいです。もとの関数のグラフに、x軸に平行な直線をひいてみて、それがもとのグラフと2点以上で交わっているなら、1点でしか交わらないような範囲にしてあげるのです。

そして、もとの関数の式を変形すると:
x^2 = y
x = ±√y
と書けます。ここで、x≧0という範囲で考えているのですから、-√yというのはyがどんな値でも、x≧0という条件に整合しません。また、実数の範囲で考えるならy≧0という条件も追加しなければなりません(そうしないと根号の中に虚数が出てきてしまうからです)。よって、±√yの-の符号の方は無視し、プラスの符号を省略して:
x = √y (y≧0)
という式を得られました。「f( )」という記号を使って:
「f(y) = x = √y(y≧0)」
と書けば、この式で、yという値を入力すれば、xという結果が出てくることを表すことができています(繰り返しになりますが、xとyの役割を交換したのです)。ここまでが①です。

(もちろん、x=~の形に変形してから、結果が1通りになるような範囲を考えてもよいです)

そして、②です。上の式ではyが入力、xが結果を表していましたが、「xが入力する方を表す文字、yが結果を表す文字」で統一するために上の式のxとyを交換してあげれば:
f(x) = y = √x (x≧0)
という風に表すことができます。このように「xが入力、yが結果」で統一してあげるとどちらが入力かどうかがわかりやすいですし、また、同じグラフ上に逆関数のグラフを書くことができて、対比しやすくなります。

逆関数を式で文字で表す場合、fの右上に指数のように「-1」と小さく書いてあげて、「エフ・インバース」と読みます。「インバース」は英語の「inverse」のことで、「逆」という意味の語です。この-1というのは指数ではないことに注意が必要です。


逆関数のグラフ
ある関数の逆関数のグラフは(逆関数でも入力をx、結果をyと置いてあげています)、y=xという直線に関して線対称になります。つまり、y=xという直線で折り紙を折るように折り曲げると、グラフがぴったり重なります。

無理関数 むりかんすう Irrational function
上の逆関数の説明で出しましたが、y=√xのような、y=√(ax+b)というような関数を無理関数といいます(a, bは定数。(ax+b)は全部が√の記号の下の中に入っています)。

そして、逆関数の説明からもわかるかもしれませんが、無理関数というのは2次関数(グラフにしたとき放物線になる関数)の逆関数になっています。無理関数の式の両辺を2乗してxとyを入れ替えると2次関数の式になることや、無理関数のグラフは放物線の半分だけになっていることから、2次関数の逆関数になっていることが確認できます。


合成関数 ごうせいかんすう Composite function
合成関数とはある関数とある関数が合成されているという関数のことです。関数というのは「ある値を入力したら、1通りの決まった結果を出してくれる機能」と考えることができますが、これを2回連続で行っているのが合成関数といわれるものです(1つの関数に通したあと、その結果をもう一つ別の関数にいれて結果を出す、ということです)。

図にすると:
x ⇒f ( ) ⇒f (x) ⇒ g( ) ⇒ g (f(x))
というイメージになります。「f( ) やg( )」というのは関数を表していて、「f(x), g(f(x))」というのは関数の結果を表しています。2つ目の関数にアルファベットのgを使うのはただ単にfの次の文字だからという理由です。

合成関数というのは、これから先(高校数学だけでなく、大学数学でも)に頻繁に登場してくることになります。ただ、どれが合成関数でどれが合成関数ではないかという区別がつきにくい場合もある、ということを覚えておくとよいかとも思います。あんまり気にしすぎないことも大事です。高校数学では、xが単体で使われていない(=係数がついている)式があって、その式が2乗されている場合や三角関数と一緒になっている場合は合成関数だ、という感じのイメージを持ってくれれば十分な気もします。

例として:
sin (2x)
という関数を考えて見ます。「2×x」の値のサイン、という関数です。「sin(x)」だったら、xをサインという関数に入力しただけなのですが、この場合はxが2倍されてから、その結果をサインという関数に通しています。すなわち、xは「2倍される」という一つ目の関数と、サインの関数の2つの関数を通りぬけているわけですから、上の関数は合成関数だといえるわけです(合成関数の場合、関数の順番が大事になります。通り抜ける順番が違うと違う合成関数になるからです)。

図で考えてみます。合成関数のイメージは:
x ⇒ f( ) ⇒ f(x) ⇒ g( ) ⇒ g (f(x))
です。
f (x) = 2 x
g(x) = sin (x)
ですから、
x ⇒ f( ) ⇒ 2x ⇒ g( ) ⇒ sin (2x)
と考えることができます。
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