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数B ①数列

数列 すうれつ Sequence
数の並びのことです。高校で触れる数列は規則性がある数列のみを扱います(規則性が特になくても数列といえます)。数列は、限りがあるものと、限りが無く無限に続いていくものの2つに大きく分けることができます。
数列に現れる数に規則性がなくてもよいのですが、必ず順番がついていなければなりません。つまり、「1つ目の数は…」「2つ目は…」ということがわからなければそれは数列とはいえません。

項 こう Term ; Member; Element
数列を作っているそれぞれの数のことを項といいます。

添字 そえじ;てんじ / 添数 てんすう Index
数列の何番目の項なのかを示すための、アルファベットの右下に小さく書く数字のことを添字(または添数)といいます。

一般項 いっぱんこう General term
数列があって、その数列からどれでも良いので選んだ項のことを一般項といい、添字はnを使って表します(nは自然数を表すのに使われる文字です。何番目の項でもいいですよ、という意味でn番目の項というのを考えます)。

数列というのは数の並びなので、その項を全部書き出すのは面倒です(無限数列の場合は不可能ですし…)。そこで、数列に規則性があるならば(学校では規則性のある数列にしか出会いません)、その数列のどの項を選んでもその項の数がわかるように一般項を式で表してあげれば、わざわざ各項を書かなくてもよくなります。


初項 しょこう First term
数列の一番最初の項のことを初項といいます。

有限数列 ゆうげんすうれつ Finite sequence
項の数に限りが有る数列のことを有限数列といいます。

無限数列 むげんすうれつ Infinite sequence
項の数に限りが無い数列のことを無限数列といいます。

末項 まっこう
数列の最後の項のことを末項といいます。有限数列には末項がありますが、無限数列には末項がありません。無限に続いていくので最後の項が決められないのです。

等差数列 とうさすうれつ Arithmetic progression (AP); Arithmetic sequence
「2, 4, 6, 8, …」や「10, 20, 30, 40 …」のように同じ数だけ増えていく数列を等差数列といいます(有限でも無限でもどちらでも良いです)。
隣り合った2つの項の差が、数列のどの2つの項を考えても同じ(=等しい)ので等差数列と呼ばれます。

公差 こうさ Common difference
等差数列において、隣り合った2つの項の差は、どの2つの項を考えても一致します。この差の値のことを公差といいます。「公」は「共通の」という意味です。
例えば「2, 4, 6, 8, …」という等差数列の公差は「2」であり、「10, 20, 30, 40, …」という等差数列の公差は「10」です。

等比数列 とうひすうれつ Geometric progression; Geometric sequence
「3, 9, 27, 81, …」(×3ずつ増えていく)や「5, 25, 125, 625, …」(×5ずつ増えていく)のように、同じ数をだんだん掛けていった数列を等比数列といいます。
隣り合った2つの項の比が、数列のどの2つの項を考えても同じ(=等しい)ので等比数列と呼ばれます。

公比 こうひ Common ratio
等比数列において、隣り合った2つの項の比は、どの2つの項を考えても一致します。この比の値のことを公比といいます。「公」は「共通の」という意味です。
例えば「3, 9, 27, 81, …」という等比数列の公比は「3」であり、「5, 25, 125, 625, …」という公比数列の公比は「5」です。

単利計算 たんりけいさん Simple interest
利子(りし)の計算方法の1つです。利子とはお金を貸すときのお礼の代金みたいなものです。単利計算の場合は、元本(がんぽん;借りた金額自体)にだけ利子がつくものを指します。

例えば10万円を年間利子率10%で借りたとします。これを1年後に返す場合、元本(10万円)の10%である1万円を加えて11万円を返せばよいことになります。
そして返済が1年で完了せずもう1年たった場合、また元本の10%である1万円を加えた金額を返します。

以上のように計算していくのが単利計算です。


複利計算 ふくりけいさん Compound interest
利子の計算方法の1つです。複利計算の場合は、元本だけではなく、元本に利子をつけたものにも利子がつきます。つまり、利子を元本に組み入れてしますのです。

例えば10万円を年間利子率10%で借りたとします。これを1年後に返す場合は、単利のときと同じく11万円を返せばよいです。しかし、その時点で返せずにさらに1年たった場合、借りた10万ではなく11万円に10%の利子がつきます。すなわち、11万円の10%である11,000円を加えた12万1000円を返さなければなりません。


シグマ Sigma (大文字Σ,小文字σ)
シグマはギリシャ文字です。英語で言えば「S」に当たる文字です。
数列というのは数が並んでいるだけです。「数列の各項を足したもの」を示すのにシグマの大文字が使われます(「足し合わせる」ことを英語で「Summation」と言うのでシグマが使われます)。

シグマを使う場合は「どんな数列」の「どの項からどの項まで足し合わせるか」というのを一緒に書いてあげます(大学レベルになると無限数列を扱うので「どの項からどの項まで足し合わせるか」というのは書けない場合もありますが、高校レベルでは「どの項からどの項まで足し合わせるのか」を明記できるものしか扱わないので、それを書き忘れないようにしましょう)


数列の和に関する公式



階差数列 かいさすうれつ Successive differences
ある数列があって、その数列の隣りあう2つの項の差を並べた数列を階差数列といいます。
例えば「1, 3, 7, 13, 21, 31, …」という数列の階差数列は「2, 4, 6, 8, 10, …」となります。この例のように、規則性がないように見える数列でもその階差数列には規則性が現れることがあります。

群数列 ぐんすうれつ
ある数列があって、その数列の項を規則的にグループに分けたものw群数列といいます。各グループのことを群(ぐん)というので「群数列」という名称になっています。

漸化式 ぜんかしき Recurrence relation
数列があって、その隣り合う2つの項などの関係を示した式のことを漸化式といいます。
「漸」という漢字には「だんだんと;少しずつ」という意味があります。
(じゃあ「漸化」はどういう意味なんだろうと思われるかもしれませんが、ちょっと私にはわからないです…。ある項がわかればその次の項がわかる、という風にだんだんと数列の全体像がつかめていくので「漸」という漢字が使われているのかなと思うのですが、「化」がここでは何を指しているのかはちょっとわかりません…)。

漸化式が無い数列もあります。


隣接2項間漸化式 りんせつにこうかんぜんかしき
漸化式の中で、隣り合った2つの項に関する漸化式を特に「隣接2項間漸化式」と呼びます。

数列の帰納的定義 すうれつのきのうてきていぎ
数列の帰納的定義といった場合、「数列とはこういうものである」という意味の定義ではなく、ある数列にはどんな数が表れるのかを教えてくれる式が「帰納的」であるという意味で「数列の帰納的定義」といいます(ですから「定義」って言葉はあまり良くないかもしれません。「表し方」ってことです。)

「帰納的」というのは、細かい部分からだんだんと全体像がわかってくる、というような意味です。

すごく簡単にいってしまうと
「その数列の一般項=~」となっている場合は直接的にその数列を表しているといえます。
「その数列の漸化式=~」となっている場合が数列を帰納的に表しています(つまりこれが数列の帰納的定義。)


数学的帰納法 すうがくてききのうほう Mathematical induction
まず帰納法(きのうほう)と演繹法(えんえきほう)の説明を最初にします。この2つは証明をする際の代表的な方法論(考え方)です。
帰納法というのは特殊な事例を参考にして、そこから全体像を考察する考えかたです。小さいもの(細部)から大きいもの(全体像)を想像する、というイメージです。
演繹法というのは全体像を参考にして、そこから特殊なものを考察する考え方です。大きいもの(全体像)から小さいもの(細部)を想像する、というイメージです。

数学における証明というのは(というか、数学に限らず論理的になろうとする場合は)普通、演繹法で行います。これは帰納法というのは間違う可能性が非常に高いからです。例えば、数学から離れますが、「私の父親は浮気が原因で離婚した。男というのは必ず浮気する」というのは帰納法的な考え方です(もちろん非常に極端な例を出しています)。自分の父親という特殊な事例から男全員に対しての考察をしているからです。もちろん人類の男全員を知っている人間などいないわけですからこの考えは間違っている可能性が限りなく高いわけです。

では、「数学的帰納法」は数学で使われる帰納法のことか、というとそうではないんです…。
実は「数学的帰納法」というのは、実はとても厳密な「演繹法」なんです…。じゃあ何故「演繹法」と言わずに「帰納法」というかというと、このあと説明しますがドミノが倒れるようにどんどん先のことが誘導されていくのが「帰納的」であるといっているのです(まぁここはあんまり理解しなくてもいいです)。


数学的帰納法は「ドミノ倒し」に例えられることが多いのでここでもそのたとえを使いながら説明していきます。「ドミノが倒れる」というのは「成り立つ」ということの比喩(ひゆ)です。

数学的帰納法は大きく分けて2段階を踏みます(普通の数学的帰納法は次の段階1と2の順番を逆にして説明しますが、私が説明しやすいので逆でやります)。

段階1
「まず並んでいるドミノのあるドミノ(n番目のドミノ)が倒れると仮定したならば、その次のドミノ(n+1番目のドミノ)は必ず倒れることを証明する」

あるドミノというのは(イメージ的には)別にどれでもいいんです。そして、そのドミノが倒れると仮定します。実際にはその仮定が合ってるかどうかはわかりませんが(といっても学校で出会うものはこの仮定が絶対正しいですが…)、仮定なのでまずはどうでもいいのです。とりあえず機械的にそう仮定してしまいます。
その後、そのドミノが倒れると仮定したならば、その次のドミノが絶対に倒れる、というのを証明してあげます(ここは機械的に出来ません。皆さんの力で証明するのです)。

ここまでが段階1になります。ここがちゃんと証明できたということは、最初に選んだドミノが5個目か、20個目が1000個目のものでもどれでもいいんですが(上にも書きましたが実際にはn番目のドミノのことを考えますので、自分で何番目かは選びません。イメージの話をしています)、それが倒れればその次のドミノは絶対に倒れることがわかります。そして、ここが重要なんですが、その次のドミノも倒れると言えてしまえるのです!
最初に選んだものが、(イメージ的に)5個目だったとします。5個目のドミノが倒れると仮定したならばその次の6個目のドミノも倒れることを証明しました。そして6番目が倒れるならば、7番目も倒れることも一緒に証明してしまったのです(1個前のドミノが倒れれば次のものは必ず倒れることを証明していたのですから)。そして、7番目が倒れれば8番目も倒れ、…と最初に選んだドミノ以降は全て倒れることになります。

段階2
「1番最初のドミノが倒れることを証明する」

この証明ももちろん皆さんの力でやらなければなりません。
この段階2が証明できれば数学的帰納法の完成です。

段階1で証明したのは、あるドミノが倒れると仮定したならばその次以降のドミノは全て倒れることを証明しただけです。例えば、「全部で100個あるドミノの5番目が倒れと仮定したならば6番目以降は全て倒れる」ということだけです。最初の「5番目が倒れる」という仮定が間違っているかもしれないし、5番目より前の4つのドミノについては倒れる保証もありません。995個のドミノが倒れようとも最初の5個が倒れなければ証明できたことにはなっていないのです。
この不完全さを補うのが段階2です。段階2で一番最初のドミノが倒れることを証明しました。ということは段階1より、2番目のドミノは必ず倒れるし、その先のドミノも倒れることがわかっています。つまり全部のドミノが倒れることが証明されたのです。


フィボナッチ数列 Fibonacci sequence
「0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…」という数列のことをフィボナッチ数列と呼びます(最初の項を1とする場合もあります)。
この数列の一般項は
「一般項=(その項の2つ前の項)+(その項の1つ前の項)」
となっています(前に項が2つ無い第1項と第2項に関しては、第1項=0、第2項=1と決めておきます)。

この数列が特別視されているのには複数の理由があります。
まず、隣り合う2項の比をどんどん取っていくと、その比が「黄金比」といわれる比に近づいていくことです。「黄金比」というのは
「1:(1+√5) / 2」
という比のことです。大体「1:1.618」または「5:8」くらいです。
黄金比というのは西洋で2,000年以上前から研究されているもので、この比率が最も美しく感じるとされています。建築や絵画などの芸術分野などで利用されてきています。

フィボナッチ数列が特別視される他の理由としては、植物の種の数や花の数などにこの数列が表れる例が多いということです。

フィボナッチ(Fibonacci;1170 – 1250) はイタリアの数学者です。彼がこの数列をヨーロッパに初めて紹介されたとされています(彼自身が発見したわけではありません)。また、彼が著書の中でアラビア数字(普段私たちも使っている「0, 1, 2, 3, …」)を紹介したことがきっかけで、ヨーロッパにアラビア数字が広まったとされています。
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