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数Ⅱ⑦ 積分法

不定積分 ふていせきぶん Anti-derivative; Antiderivative; Primitive integral; Indefinite integral
不定積分とは、ある導関数の逆の関数(とその関数に定数を足したもの)のことです。つまり、不定積分を微分したらその導関数になる、ということです。
(不定積分の「不定」は積分する区間が「不定(定まっていない)」という意味です。これは積分する区間が定まっている「定積分」との対比で考えるのが一番ですので、最初はあまり名称を気にしすぎず、「定積分」に触れてからまた戻ってくれば良いと思います。)

まず導関数とは何であったかというと、微分係数を結果として出してくれる関数のことでした。微分係数とは「瞬間の変化率」と言えるようなものでした。
f (x) = yという関数があり、dy / dx = f’ (x)とします。両辺にdxを掛けると
dy = f’ (x)×dx
と変形できます。これは「(元の関数(y)のとてもとても小さな変化量)=(瞬間の変化率)×「xのとてもとても小さな変化量」という意味になっています。

そして、「とてもとても小さなyの変化量(dy)をすべて足し合わせれば元の関数(y)がわかる!」と考えるのです(dyはとてもても小さなyですから、それを全部足し合わせたらyになる、といっているだけです)。「和(足し算の答え)」のことを英語で「Sum」というので、「S」を縦に引き伸ばした記号を使い
f (x) = ∫dy
と考えます。ここで、「dy = f’ (x) ×dx」でしたから
f(x) = ∫dy = ∫(f’ (x) ×dx)
とも書けるわけです。そしてこの「∫(f’ (x)×dx)」を不定積分というのです。

慣習としてdxの前に「×」や「・」という記号は書きませが、説明のために×の記号を使いました。

不定積分の表記は「(瞬間の変化率)×(xのとてもとても小さな変化量)」を「全て足し合わせたもの」、そして「それが元の関数を表している」ということを忘れないようにして下さい。

ここで、注意が必要なのが積分定数(Constant of integral)と言われるものです。実は定積分は
∫(f’(x)×dx) = f(x)+C
と書かなければなりません。f’(x)が導関数、f(x)が元の関数です。
このCが積分定数です。Constant(定数という意味)の頭文字をとってCと表すのが普通です。積分したときに現れてくる定数という意味です。
なぜこう書くのかは、定数を微分したときのことを思い出してもらいたいと思います。微分するとは、瞬間の変化率(=微分係数)を終しえてくれる関数を求めることでした。そして、定数というのは、その値が何であっても微分したら0になります。定数というのは「変化しない定まった値」のことですから、変化率は0というのは理解しやすいと思います。よって、元の関数にどんな定数が足されていても(もちろん定数の値が負でもいいです)、その定数を微分したら0になって、導関数は同じになります。
例えば:
「x^2+100」も「x^2-8」も、導関数は「2x」になります。
「x^3」も「x^3+20」も、導関数は「3x^2」になります。

つまり、微分したらある導関数になる関数というのは無数に考えられるのです!!
もちろんいちいちそれらの関数を全部書くわけにはいかないので(というか無限にあるので書き終わらないですが)、「+C」という風に書くのです。


不定積分(と定積分)の説明は曲線とx軸の間の「面積を教えてくれる関数」を求めるということもできます。(積分の考え自体が元々面積を求めるための考えでした。微分することと積分することがお互いに逆のことをしていると証明されたのは17世紀のことです)。
ある導関数f’ (x) = y のグラフを書いたとします(説明を簡単にするために、yの値は0より小さくなることはないグラフを想像して下さい)。そして、その曲線とx軸に挟まれた部分の面積を求めたい場合、dxという横の長さと、f’ (x)という縦の長さを持つ(1つの)長方形の面積をまず求めると
「f’ (x)×dx」と書くことが出来ます。そして、このような長方形が曲線とx軸の間の領域をすべて埋めていると考えます(つまり、dxという横の長さは同じで、高さは色々な長方形が一杯あると考えます。高さが色々なのは場所によってf’ (x)の値が違うからです)。これらをすべて足し合わせれば曲線の下の面積がわかります。よってこれを
「∫(f’ (x)×dx)」
と書きます。これは(面積自体ではありませんが)面積を教えてくれる関数がわかったことになります。

(長方形が綺麗に曲線に沿ってないじゃないか、だから正確な面積とはいえないんじゃないか、という疑問を持つ人もいるかもしれませんが、dy やdxというのは極限を考えたものです。だからイメージした長方形がその面積にぴったり一致するのではなく、dxがどんどん0に近づいていくとしたら、最終的にそれら長方形の合計の面積は曲線の下の面積に近づいていくよといっているのです。もしここがわかりにくかったら、極限値は何かというのを復習してみると良いと思います)。

…というのが面積を使った説明なのですが、「面積を教えてくれる関数=導関数の元の関数」というのがイメージしにくいんじゃないかなという気もします。また、「積分=面積」とまでは言い切れません。このあとやる「定積分」の値は負の数になることもあります。ただ、やっぱり視覚的に理解するのに面積として考えるのはやはりわかりやすいです。


不定積分を求めたあとは、それを微分してみてちゃんと導関数と一致するかを確認することが大切です。

微分や積分は数学的な正確さを追及していくとめちゃくちゃ面倒なので(学者によって色々やり方が違ったりもしますし…)、あんまり定義を気にしすぎないことも大事だったりします。



原始関数 げんしかんすう Primitive function
ある関数を積分することによって得られた関数(つまり不定積分)を「導関数」との対比で「原始関数」と呼ぶこともあります。「導関数」の元になった、という意味で「原始」と呼ばれているのです。
原始関数というのは、特に条件が与えられていないなら、無限にあります。


積分する せきぶんする Integration
「不定積分」または「定積分」を求めることを「積分する」といいます。

被積分関数 ひせきぶんかんすう Integrand
積分される関数のことを(つまり元の関数から見れば導関数のこと)を被積分関数といいます。「被」という漢字には「~される」という意味があります。

定積分 ていせきぶん Definite integral
定積分というのは「積分する区間が定まっている(=決まっている)積分」のことです(これに対し「不定積分」というのは積分する区間が定まっていません)。

不定積分は「あるxの値を定積分に入力して出てきた結果の値から、xの別の値を定積分に入力して出てきた結果の値を引いたもの」です。その値というのは、簡単に言えば「曲線とx軸に挟まれた部分の面積」です(不定積分は関数であったのに対し、定積分は数になることに注意が必要です)。

xの値がaからbまでのときの積分を考えてみます。
まず、f’(x)が導関数、f(x)が原始関数とすると
∫(f’(x)×dx) = f(x)+C
と書けます。

原始関数にbを入力したものは「f(b)+C」、原始関数にaを入力したものは「f(a)+C」となります。
よって定積分は
{f(b)+C}-{f(a)+C}
となります。ここで、Cというのは同じ値のはずですから(同じ不定積分を考えているからです)、打ち消しあって0になり
「f(b)-f(a)」
と書くことができます。この「f(b)-f(a)」が「aからbまでの不定積分」と言われるものです。

定積分は面積として考えるのがイメージしやすいのですが、定積分の値が負の数になることもある、ということに注意して下さい(よって、定積分=面積とは必ずしも言い切れないこともあるということです)。


定積分の下端、上端 ていせきぶんのかたん、じょうたん  Lower limit / Upper limit
xがaからbまでのときの積分、といったとき:
aを定積分の下端といい「∫」の記号の下のほうにaと書きます。
bを低積分の上端といい「∫」の記号の上のほうにbと書きます。

積分区間 せきぶんくかん Domain of integration
xがaからbまでのときの積分といったとき、このaからbまでの範囲のことを積分区間といいます。

2曲線に囲まれた部分


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