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数Ⅱ⑥ 微分法

平均変化率 へいきんへんかりつ
f(x) = y という関数があったとします。このとき、ある2つのxの値を考えたときに「(yの増加量)÷(xの増加量)」の値をその区間の平均変化率といいます。「平均」という言葉を使うのは、グラフにしたときに曲線(直線は除く)になる関数の場合、変化率はその区間の中でも色々変化しているからです。色々変化率が変化しているけれども、その変化は置いといて、その区間の全体像(最終的にどのくらいの割合で増えるのか・減るのかなど)を教えてくれるのが平均変化率です。ちなみに、グラフにしたときに直線になる関数の場合は、平均変化率と変化率はどの地点でも一致します。

極限(値) きょくげん(ち) Limit
関数に通した後の結果が、ある値に限りなく近づく場合、その値を、関数の極限(値)といいます。微分やこの後に習う積分を考える際にはこの極限の考えが欠かせません。なぜなら「微分係数(導関数)」や「積分」というのは「極限」であるからです。
式で表すときにはlimitの最初の3文字をとって「lim」と表します。

(関数の極限といった場合、関数に通した「結果」が近づく値をさします。「入力する方」がある値に近づいたとしてもその値は極限とはいいません。)

極限の理解を深めるための例を挙げます。
「y = x (x≠1), 0(x=1)」
という関数があったとします。xが1以外のときはごく単純な比例の関数ですが、xが1のときだけ0になる、というような関数です(現実世界にこういう関数があるかどうかは別問題ですが…)。この関数をグラフにすれば、xが1の値のときだけ直線のグラフに穴が開いていることになります。

このとき「xが1に近づくときのyの極限は?」という問題を考えてみます。
まずxがだんだん減っていって1に近づく場合を考えると:
x=1.3 のとき y=1.3
x= 1.2のとき y = 1.2
x= 1.1 のとくy =1.1

x =1.01 のときy= 1.01

となります。

次にxがだんだん増えていって1に近づく場合を考えると:
x=0.7 のときy=0.7
x=0.8 のときy=0.8
x=0.9 のときy=0.9

x=0.99 のときy=0.99

となります。

上のようにだんだんyの値も1に近づいていきます(まぁxとyの値が同じ関数なので当たりまえと言われればそれまでですが)。
したがって、上の関数において「xが1に近づくときのyの極限は1である」と言えます。

ここで、注意してもらいたいのは、実際にxの値が1であるときにはyは1ではなく0という値になる点です(最初の条件より)。しかし、極限というものが何なのかを思い出してもらうと良いのですが、「限りなく近づく値」を極限値というのであって、実際にxの値が1のときのことを考えているわけではないのです。最初に極限を習うあたりの練習問題ではただ単にxの値を代入すればyの極限の値が出てくる問題をたくさんやるので、このことを忘れてしまいがちになるのですが、この考えがわかっていないとちょっとこの先つまづきやすくなる可能性があるので十分注意してください。

(上の説明で「xがだんだん増えてある値に近づく場合」と「だんだん減ってある値に近づく場合」を考えましたが、これは重要です。なぜならあるxの値にだんだん増えていく場合とだんだん減っていく場合で、yが近づく値が違ってくる場合があるからです。その場合「極限はない」という結論になります。詳しくは高校三年生・大学でやることになります。高校2年生の範囲では極限が無い関数は問題には出てこないと思います)。


接線 せっせん Tangent line; Tangent
ある曲線があったときに、その曲線に一点だけで接する線を接線といいます。(同じ点に何本も接線が引ける場合もあります)。
y=f(x) 上にある点(a, f(a)) における接線の方程式は:
y-f(a) = f´(a)(x-a)
になります。
f´(a)というのは、関数f(x)をxについて微分した関数という意味です。微分については下の「微分係数」や「導関数」の項目を見てください。


微分係数 びぶんけいすう Derivative; Differential coefficient
初めて微分係数に出会う人には図形で視覚的に説明するのが楽なので、まずそれで説明します。
ある関数f(x)=y があってそれをグラフにしたとします。x=aの地点での、yの値の接線の傾きのことを「x=aでの微分係数」といいます。
(何故「係数」という名前がついているのかの説明は導下の関数の項目で書きます。導関数というものを説明して置かないと何の係数なのかが説明しにくいのです…)

微分係数は、平均変化率の極限を取ることによって求まります。具体的には:
xが「a」と「a+h」のときの平均変化率を考えると、
{f(a+h)-f(a)}/ h
という式で表すことができます。f(a+h)はxがa+hのときのyの値、f(a)というのはxがaのときのyの値を表しています。このh(=xの増加量)が限りなく0に近づいていくときの極限を考えれば(つまり、aとa+hの差をどんどん小さくしていって限りなくその差を0に近いものにするのです)、その極限がx=aでの接線の傾きということができます。この値が微分係数です。

(もしこれを読んで、hはゼロじゃないんだから、本当の接線とはぴったり重ならないんじゃないか、と思う人がいるならばそれは極限に関して何か誤解をしている可能性がありますので注意して下さい。関数の極限というのは、ある変数がある値に近づいたときに、その変数を入力した結果が限りなく近づく値を指しています。上の例で言うとhは0ではないので、本当の接線とぴったり重なることはないけれど、本当の接線に限りなく近づいていく、ということを言っているのです。微分係数や導関数というのは「極限」であるということを忘れないようにしてもらいたいです)。

…接線で説明しましたが、結局微分係数(接線の傾き)が何を示しているのかといえば「瞬間の変化率」とでもいうべきものです。変化率というのは大変便利なもので、変化率がわかれば未来の予測が出来るようになります(例えば、入力するものを大きくすると結果の値は大きくなっていくぞ、とか、この値を過ぎると結果の増加率が鈍るぞ、などということわかるわけですから)。そして、平均変化率という大まかなものよりも瞬間変化率の方がより正確ですので、この微分係数(瞬間変化率)を求めることが非常に大事なのです。


導関数 どうかんすう Derived function;Derivative
微分係数を結果として出してくれる関数を導関数といいます。

微分係数というのはある一点での接線の傾き(=瞬間変化率)を考えたものでした。ここで、ある1点だけではなく、関数の全体(または決められた区間)での各地点(xが取りうる全ての値)での微分係数を一まとめに考えられる式を教えてくれるのが導関数という関数だと思ってください。
どういうことかというと、あるxの値を入力すれば、もとの関数がそのxの値をとるときの微分係数を結果として出してくれるような関数を導関数というのです。「導く」という漢字が使われているのは、導関数は元の関数から導かれた(得られた)ものであるからです。

導関数の求めるときの考え方は、微分係数を求めるときの考え方と基本的に同じです。一つだけ違うのは、微分係数を求めるときにはxがある1つの値をとると考えていましたが、導関数を求めるときには、xは色々な値をとる、つまり、変数であると考えます。ですから、微分係数を求める式では、ある1つの値aの代わりに、x自体を置いてあげます。
{f(x+h) -f(x)}/ h
という式の、h(=xの増加量)が0に近づいていくときの極限値を考えると(xの増加量が限りなく0に近づいたものを考えるという意味です)、その答えはxの関数になります。この関数が導関数とよばれるものです。

式では導関数は「f’ (x)」とか「dy / dx」などと表されます。色々な表し方があるのは、色々な数学者がそれぞれ記号を考えたからです。(英語圏では微分係数のことも「dy / dx」と表記します)。

「f’ (x)」は英語では「エフ・プライム・オブ・エックス ( f prime of x)」と読みます。

「dy / dx」は英語では「ディーワイ・バイ・ディーエックス (dy by dx)」や「ディーワイ・オーバー・ディーエックス (dy over dx)」などと分数と同じ様に読みます(別の読み方もあります)。
この場合「dy」や「dx」は「d×y」「d×x」という意味ではなく、「yのとてもとても小さな変化量」「xのとても小さな小さな変化量」という意味で使われていて、dとy, xを離すことは出来ません。何故、「d」という文字を使うかというと、「とてもとても小さな変化量」のことを英語でdifferential(微小量)というからです。
「dy / dx」と書くと「(yの変化量)÷(xの変化量)」ということですから、「変化の割合を求めている」ことが理解しやすいと思います。

高校などでは「dy / dx」を分数と考えてはいけない!と教える教師も多いかもしれません。…が、「dy とdxの分数になっている」と考える方が圧倒的に分かりやすいです!!!ということを強調しておきたいと思います。
分数のように考えていけないというのは、「dy / dx」が極限を考えたものになっているからなのですが(よって分数と考えるには数学的な正確さに欠けてしまいます)、普通の数のように「dy」と「dx」を扱えると思っていたほうが今後習うことになる「合成関数を微分する」「「積分」「置換積分法」などが分かりやすくなると思います。
数学的な正確さを理解するのは後でいいと思うので、高校の「微分・積分」の分野でもし微分や積分が分かりづらくなってきたら、(dとy, xを離して考えないということだけには注意して)普通の数みたいに「dy」と「dx」を扱えると思ってしまえば道が開けるかもしれません。


また、微分係数は何故「係数」というかといえば、「dy」と「dx」を普通の数のように使って:
dy = (dy / dx) ×dx
という風に考えることが出来るからです。「dxの係数」が「(dy / dx)」になっています。普通の数のように、dx同士が約分できてdyになっていると考えることができます。だから「dy / dx」が微分係数と呼ばれます。

(…といっても瞬間の変化率のことを「微分係数」と呼ぶのはわかりにくいかなぁと思います。何の「係数」なのかっていうのがいまいちピンとこない気がするので。英語圏では微分係数のことを「derivative」と呼ぶのが一般的です。derivativeは以前(といっても数十年前)は「differential coefficient」と呼ばれていました。それを日本語に訳したのが「微分係数」だと思うんですが、英語圏と同じように理解しづらい名称は変えていってもいいんじゃないかとは思います)。


デルタ
ギリシャ文字のデルタの大文字(Δ)が「増加量」を表すのに利用されます。「Δy」や「Δx」というのは、「Δ×y」などという意味ではなく、「yの増加量」「xの増加量」というものを表しています。「Δ」と「yやx」は決して離さず、「Δ」単体で使うことはありません。
「Δy」と「dy」の違いは、「d」の方は極限まで考えたものになっていますが、「Δ」は極限は考えていない、ということです。

デルタは今の英語のアルファベットで言えば「D」に当たります。増加量というのは「変化後の量から元の量を引いたもの」、つまり「差(=引き算の結果)」です。差を英語で「Difference」というので「増加量」を表すのに「デルタ」が使われるのだと言われています。


微分する Differentiation
導関数を求めることを「微分する」といいます。

区間 くかん Interval
ある変数が取りうる、ある値から別の値までの範囲のことを数学では区間と言います。
端にある2つの値を区間に含めるかどうかで区間は4つに分類することができます。
a, bという2つの値があったとして:
[ a , b ] はa, bとも区間に含めます。
( a, b ) はa, bとも区間に含めません。
[ a, b ] はaは区間に含めますが、bは区間に含めません。
( a, b ] はaは区間に含めませんが、bは区間に含めます。

端の点を含めるか含めないかでカッコの記号を使い分けていることに注意して下さい。区間は不等号をつかっても表すことができます。例えば[ a, b )は(変数がxだとしたら)
a ≦ x <bと書くことができます。


単調に増加 たんちょうにぞうか Monotonically increasing; (Strictly increasing)
f(x) = y という関数があったとします。それをグラフにしたときに、右にいけば(xが増加すれば)グラフは上昇を続ける(yが増加する)関数を「単調に増加する関数」といいます。

正確には、増加率が0の部分があっても良いです。増加率が0とはそのグラフにx軸に平行な部分があっても良いということです。(英語では増加率が0の部分がある場合を「monotonically increasing」、増加率が0の部分がなく増加し続ける場合を「strictly speaking」といって使い分けているようですが、日本語で「単調に増加」といった場合はその両方の意味で使われています)。


単調に減少 たんちょうにげんしょう Monotonically decreasing; (Strictly decreasing)
f(x) = y という関数があり、xが減少すればyは減少するような関数を「単調に減少する関数」といいます。

関数の極大値・極小値 かんすうのきょくだいち・きょくしょうち Local maximum / Local minimum  
グラフにしたときに波を打っているようなグラフを考えてください(サイン曲線のように綺麗な形でなくてよいです)。波のような形なので、山の頂上になる部分と谷の底になる部分がいくつかあるはずです。それぞれの山の頂上になる部分を極大値、それぞれの谷の底になっている部分を極小値といいます。

最大値・最小値との違いは、最大値・最小値は最大でそれぞれ1つしかありませんが、極大値・極小値は複数ある(場合がある)ことです(極大値・極小値が無い関数もあります)。

極大値というのは、今まで増加していた関数がその値の先から減少に転じる部分、極小値というのは、今まで減少していた関数がその値の先から増加に転じる部分になっています。
そして、極大値・極小値の微分係数(=瞬間の変化率=接線の傾き)は0になります。よって、ある関数の極大値・極小値のときのxの値を求めるには、その関数の導関数(=微分係数を教えてくれる関数)を求め、その導関数が0の値をとるときのxの値を調べればよいことになります。


極値 きょくち Local extrema
極大値と極小値を合わせて極値といいます。


増減表 ぞうげんひょう
増減表とは、関数の最大値・最小値を求めるときに利用される表のことです。

下の画像は増減表の例です。aが独立変数です。aがx、Uがyの働きをしていると思ってください:


増減表の第1段目には、極値をとるときの独立変数の値や、定義域の端の値を書き入れます。

第2段目には、導関数の符号を書き入れます。極値のときには導関数の値は0になります。特に書き入れる必要がないときには空欄になる箇所もあります。

第3段目には、もとの関数の増加・減少や、極値のときの関数の値を書き入れます。導関数の符号が-ならばもとの関数は減少していて、導関数の符号が+ならばもとの関数は増加していることを利用します。
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