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数Ⅱ⑤ 指数関数と対数関数

指数の拡張 しすうのかくちょう
中学生では指数は自然数の場合のみを考えてきましたが、高校では指数が負の数・分数の場合も考えます。(大学では指数が複素数の場合まで拡張します)。

(a>0(aは正の数)というのは、法則が成り立つための条件です。aが0や負の数だと法則が成り立たなくなってしまいます)

累乗根 るいじょうこん; べき根 べきこん N-th root
累乗するとある数aになるとき、もとの数をaの累乗根といいます。(つまり、平方根(2乗根)・立方根(3乗根)・4乗根…、などをすべてまとめて累乗根といいます)。累乗根を表す場合、根号の左横に「…乗根」の「…」の数字を書きます。ただし、2乗根の2の場合は省略ができます。




対数 たいすう Logarithm (of a number)
ある数aを何乗かした値がxであるとき、その何乗かを表す指数の数を「aを底(てい)とするxの対数」といいます。
対数の考えに初めて触れる場合は、まず「~を底とする…の対数」という風にしっかりと文章で理解することが大切です。「…」の部分(上の例ではx)を真数(しんすう;Antilogarithm)といいます。
対数を数式にする場合は「log」という記号が使われます。


・3を底とする27の対数は3です(3を3乗すると27になります。27が真数です。)
・10を底とする100の対数は2です(10を2乗すると100になります。100が真数です。)
・5を底とする5^3(5の3乗)の対数は3です(5を3乗すると5の3乗になります。5の3乗(=125)が真数です)。


対数の性質(と指数法則)を利用すれば、掛け算を足し算に直すことができます(あらかじめ表を作っておけば面倒な掛け算をいちいちしなくてよくなるのです)。よって、大きな数を計算しなければならない航海技師や天文学者たちに数百年前から利用されてきました。

現在でも対数は幅広い分野で利用されています。ほんの少しだけ紹介すると:
・地震のマグニチュードを測る「リクター・スケール(Richter magnitude scale)」
・物質の酸性・アルカリ性を示す「pH(水素イオン指数)」
・音楽での、音程(音の高さの違い)を表すのに対数が利用されています。このことはピアノやギターなんかにも関係しています。
などがあります。

対数の底 たいすうのてい Base

対数関数 たいすうかんすう Logarithm; Logarithmic function
「y = log (a) x」という、xという真数を入力すれば、aを何乗すればその真数になるかという結果(y;指数)が出てくる関数を対数関数といいます。対数関数は指数関数の逆関数です。
対数関数で注意して欲しいのは、必ず「x >0」(入力する真数は0より大きい)という条件がつきます。指数法則を思い出して欲しいのですが、底が何であっても答えは0や負の数にはならなかったはずです。よってそういう条件がつくのです。

対数関数のグラフの特徴
対数関数「y = log(a) x」のグラフは、指数関数「y = a^x」のグラフと、y=xという直線に関して線対称です。(それぞれの関数のx軸とy軸を入れ替えると他方のグラフになる、とも言えます)

「log (a) x」というのは、aを底とするxの対数、という意味です。
「a^x」というのは、「aのx乗」という意味です。
どちらの場合もaは定数で、xは変数です。

常用対数 じょうようたいすう Common logarithm
10を底とする対数を常用対数といいます。常用対数は、工学・天文学・化学の分野でよく用いられます。その分野で常用対数が用いられる場合、「log x」という風に、底である10を省略してしまうことが多いです(xが真数です)。

(注意が必要ですが、数学では常用対数はあまり使いません。そして、「log x」という風に底を省略して書いた場合、底は10ではなく「e」という自然対数の底と言われる数である場合があります)
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