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数Ⅱ④ 三角関数

一般角 いっぱんかく
これまで角度というのを考えるときには、ある図形を一緒に考えることが多かったですが、その場合に一緒についてくる制約を受けないようにする角度の考え方があります。制約とは、具体的に言えば、0度より小さい角や360度より大きい角を考えにくかった点です。これを無くすために、1つの点と、そこからのびる2つの半直線で角度を定義したものが一般角といわれるものです。2つの半直線がまず重なっている状態を考え、1つの半直線は動かさずに、もう1つの半直線を点の周りを回転させます。回転させる方向は2つしかありません。反時計回りを正の向き、時計回りを負の向きといいます。このときの2つの半直線がなす角によって表される角のことを一般角といいます。一般角によって、0度より小さい負の角や、360度より大きい角も考えることができます。

動径 どうけい
一般角を考えるときの2つの半直線のうち、動かす方の半直線を動径といいます。

始線 しせん
一般角を考えるときの2つの半直線のうち、動かさない方の半直線を始線といいます。

正の角 せいのかく Positive angle
動径を反時計回りの方向に動かしたときに出来る角です。符号は「+」になります。

負の角 ふのかく Negative angle
動径を時計回りの方向に動かしたときに出来る角です。符号は「-」になります。

象限 しょうげん Quadrant
座標平面では、2つの直交する座標軸によって平面が4つに分割されます。このとき、原点(2つの軸の交点)の右上にある部分を第1象限、その左を第2象限、その下を第3象限、その右を第4象限といいます(第4象限の上は第1象限です)。つまり、原点の右上を第1象限とし、反時計回りに2, 3, 4象限となっていきます。

(x軸、y軸や、原点は象限に含まれません)


ラジアン;弧度(こど) Radian
ラジアン(英語では「レイディアン」という感じの発音です)は、角の大きさの表し方の一つです。ラジアンはちょっとわかりにくいんですが、「ある1つの円の弧(こ)の長さとその円の半径の比の値」でもあるし、「角度の大きさの単位」でもあります。ラジアンが比の値であると覚えておくのは非常に重要なことです。なぜなら、ラジアンは数式の中で単位(rad)をつけずに表現されることがとても多いからです。何故単位をつけなくてもよいかというと、それはラジアンが比の値、すなわち「普通の数」だからです。(普通の数ではないものはどういうものかというと、2メートルや50キログラムなど、単位がついたもの(単位をつけえて考えなければならないもの)です)。普通の数だけども、単位でもある、というのがとてもわかりにくいと思うんですが、まぁそんなものなんだと割り切ってくれた方がいいと思います。わかりにくかったら、「比の値」であるということだけを覚えてくれても良いと思います。

ラジアンは「(円の弧(こ)の長さ)÷(半径の長さ)」で求めることができます。ラジアンを紹介するときには半径の長さが1の円で紹介するのが普通です。円というのはどんな大きさでも相似ですので、比の値は半径が1のときだろうが30だろうがいつでも等しくなります(←相似の性質です)。だったら、半径を1にすれば比の値は「弧の長さ÷1」=「弧の長さ」に等しくなってわかりやすいので、半径が1の円で説明するのが理にかなっているわけです。度数とラジアンの関係を簡単に紹介すると(半径が1の円で考えます):
360度=「円周÷1」=「円周」=「2πr」
180度=「半周÷1」=「半周」=「πr」
90度=「(円周の4分の1)÷1」=「円周の4分の1」=「(π/2)r」
などとなっています。
1ラジアンは、「弧の長さ÷半径」の値が1になるという意味ですから、弧の長さと半径の長さが等しいときが1ラジアンになります。1ラジアンは約57度です。

何故「~度」ではなく、ラジアンで角の大きさを表すかといえば、そちらの方が計算がしやすくなり便利である場面が多いからというのが一番の理由です。今後学んでいくことになる「微積分(びせきぶん)」という計算方法の場合にも角はラジアンで表すのが普通です。

例えば、この先、「sin(x)」をxについて微分したものは「cos(x)」であると習いますが、これはラジアンだからそう言えるのあって、「~度」で考えると「sin(x°)」をxについて微分したものは「(π/180°)×cos(x°)」になります。ラジアンの方と比べてとてもめんどくさくなってしまいます)。


弧度法 こどほう
ラジアン(弧度)を使って角の大きさを表す方法を弧度法といいます。

度数法 どすうほう Degree
度数(~度;~°)を使って角の大きさを表す方法を度数法といいます。

三角関数 さんかくかんすう 円関数 Trigonometric functions; Circular function
三角比の単元でならった、「sin」「cos」「tan」というのは「角度を入力したら、直角三角形の2辺の比の値を結果として出す」という働きをしていたのですから、関数であると考えることができます。この三角比の考えを拡張して考えた単位円上での「sin」「cos」「tan」なども、同じ働きをしています。このような、直角三角形の2辺の比の値の考えと、その考えを拡張した考え(単位円を用いた考え)をすべてまとめて、三角形に関する関数(「角の大きさ」を入力したらある値を結果として出す関数)という意味で「三角関数」と呼んでいます。つまり、三角関数は、直角三角形という図形での三角比を使って定義しても良いし、単位円上での半径を用いて定義をしても良い、という風に複数の定義の仕方があるものなのです。(日本の高校では、三角比と三角関数をまるで別物のように扱ってしまっていますが、三角比は関数ですので三角関数の定義の仕方の一つ、つまり三角関数です)。

ラジアンを学んだあとは、入力する角の大きさはラジアンで表すのが普通になります。

三角関数の「sin」や「cos」のグラフを書くと、綺麗な波の形になります。このように同じ形を繰り返す関数を(周期関数;Periodic function)といいます。大学レベルになると「どんな周期関数も三角関数の和で表すことが出来る」というフーリエ解析という概念を学びます。フーリエ解析は音楽や画像処理や医療など幅広い分野で重要な考えになっています。


正弦曲線 サイン曲線 せいげんきょくせん Sine curve
sinの関数をグラフに描くと、きれいな形の波が繰り返されたグラフになります。これを正弦曲線といいます。sinの関数のグラフを平行移動すると、cosの関数のグラフ(=余弦曲線)とぴったり重なります。

偶関数 ぐうかんすう Even function
ある値を入力したときの結果と、入力したある値の符合(+、-)を逆にした値を入力したときの結果が一致する関数を、偶関数といいます。式で書くと:
f(x) = f(-x)
といことです。
偶関数という名前の由来は、f(x)=x^2,  f(x)=x^4  (xの2乗や、xの4乗)などの、xの指数が偶数である関数が、入力する値の符号を逆にしても結果が同じ、という性質を持っているからです。
偶関数のグラフは、y軸に対して対称になっているという性質があります(つまり、折り紙のようにy軸で折るとぴったり重なります)。

偶関数の例:
x^2
cos(x) (余弦関数)


奇関数 きかんすう Odd function
ある値を入力したときの結果と、入力したある値の符合を逆にした値を入力したときの結果が、お互いに符号を逆にしたものであるような関数を、奇関数といいます。式で書くと:
f(x) = -f(-x)
ということです。
奇関数という名前の由来は、f(x) = x, f(x) = x^3 (xの1乗やxの3乗)などの関数が上に書いた性質を持っているからです。
奇関数のグラフは、原点を中心に点対称になっているという性質があります(つまり、原点を針で固定して、グラフをぐるりと時計回りまたは反時計回りに回すとグラフがぴったり重なります)。

奇関数の例:
x^3
sin(x) (正弦関数)
tan(x) (正接関数)


漸近線 ぜんきんせん Asymptote
ある曲線の漸近線とは、その曲線との距離が段々と近づいていって0になるような線(直線でも曲線でもよい)のことです。高校レベルで出てくる漸近線は曲線と決して接することはないですが、大学レベルの代数幾何学という分野では曲線の接線を漸近線とすることもあります。「漸」という漢字には「しだいに、だんだんと」という意味があります。

漸近線の説明でよく使われるのは y = 1 /x という反比例のグラフです。反比例のグラフは双曲線になります(第1象限と第3象限に曲線が現れる)。xが0に近づくにつれて2つの曲線ともy軸、つまり x = 0 の直線に近づいていきます。また、xが0から離れていくにつれてx軸、つまりy = 0 の直線に近づいていきます。よってこれら2つの直線がy = 1/ xという曲線の漸近線になります(この例のように、ある曲線の漸近線は1本とは限りません)。


三角関数の加法定理 さんかくかんすうのかほうていり Sum and difference formulas
ある角とある角を足した角のサイン(正弦)・コサイン(余弦)・タンジェント(正接)は、足し合わせる2つの角のそれぞれのサイン・コサイン・タンジェントを使って表すことができるというのを示した式のことです。

この定理の式を変形して色々な公式を導くことができるので、すごく重要な定理です。つまり、加法定理の式を覚えておけば「2倍角の公式」などは暗記しなくても自分の力で導き出せます。

この定理は、大学1年生で習う「オイラーの公式」という、自然対数の底・虚数単位・三角関数を関連させた公式につながっていくことになります。


2倍角の公式 にばいかくのこうしき Double-angle formulas
三角関数の加法定理を変形することによって得られる式の一つです。ある角を2倍した大きさの角のサイン・コサイン・タンジェントは、2倍する前の角のサイン・コサイン・タンジェントを使って表すことができるということを示しています。

これらは、加法定理で紹介した式の「β」を「α」で置き換えて整理すれば得られます。cos(2α)は3つ式が出てきていますが、これは数Ⅰで学んだ「sin^2(θ) + cos^2(θ) =1」という性質を利用し、「sin^2(θ)= 1-cos^2(θ)」などとすれば得られます。


半角の公式 はんかくのこうしき Half-angle formulas
三角関数の加法定理を変形することによって得られる式の一つです。ある角の2分の1倍の大きさの角のサイン・コサイン・タンジェントは、2分の1倍する前のサイン・コサイン・タンジェントを使って表すことができるというのを示しています。


3倍角の公式 さんばいかくのこうしき


積・和の公式 せき、わのこうしき Product-to-sum identities; Prosthaphaeresis formulas
三角関数の加法定理を変形することによって得られる式の一つです。
三角関数の積を三角関数の和に、三角関数の和を三角関数の積にすることができます。





三角関数の合成 さんかくかんすうのごうせい Linear combinations
三角関数の合成は、簡単に言ってしまえば、三角関数の加法定理の逆をしてあげることです。ある角のサイン(正弦)とコサイン(余弦)の和を、「その角+ある角」のサイン(正弦)またはコサイン(余弦)で表してあげることを三角関数の合成といいます。(おそらく、「その角+ある角」のサインで表す方法の方をよく習うと思いますが、コサインで表すことも出来ます)。


直した後の「α」の値は「sinα=b/√(a^2+b^2)」かつ「cosα=a/√(a^2+b^2)」を満たす値です。
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