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数Ⅱ③ 図形と方程式;軌跡と領域

座標平面 ざひょうへいめん Coordinate plane
座標(点と数字を対応させたもの)を定めた平面を座標平面といいます。

軌跡 きせき Locus
点が動くとき、その点が動いた跡を軌跡といいます。

2点間の距離 にてんかんのきょり
座標平面上のある2点AとBの距離は、Aの座標を(x1,y1),Bの座標を(x2,y2)とすると、三平方の定理を利用して:

という風に求めることができます。

内分点・外分点・中点の座標 
点A(x1,y1)と点B(x2,y2)を結んだ線分ABをm:nに内分する点、m:nに外分する点、そして線分ABの中点の座標はそれぞれ:

(中点は、線分を「1:1に内分する点」という意味なので、内分点の式のm,nに1を代入すれば中点の式を得られます)


直線の方程式
点(a,b)を通り、傾きがmの直線の方程式は: y-b = m(x-a)
2点(a1,b1), (a2,b2)を通る直線の方程式は: y-b1 = (b2-b1)/(a2-a1)・x-a1)



2直線が平行・2直線が直交する(=垂直に交わる)
2つの直線「y=m1x+α」「y=m2x+β」があって:
その2直線が平行になっているならば: m1 =m2
その2直線が直交しているならば: m1×m2 = -1
になります。

点と直線の距離
点(α,β)と直線ax+by+c=0の距離sは:



円の方程式
中心の座標が(a,b)であり、半径がrである円: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
(中心が原点である場合は、a=0, b=0であるということなので、x^2+y^2 =r^2と書けます)

または: x^2 + y^2 + lx +my + n =0 (ただし、l^2 + m^2 -4n >0でなければなりません)


円の接線の方程式
原点を中心とする半径rの円:x^2+y^2=r^2の円周上にある点(a,b)における接線の方程式は:
ax + by = r^2
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