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数Ⅰ⑥ 図形の計量

正弦定理 せいげんていり;正弦法則 せいげんほうそく law of sines (also known as the sine law, sine formula, or sine rule)
三角形の辺と、それぞれの辺の対角(辺の向かい側にある角)のサイン(正弦)の関係を表した等式を正弦定理(正弦法則)といいます。直角三角形だけでなく、どんな形の三角形にもこの法則が成り立ちます。

三角形の3辺の長さをそれぞれa, b, c とします(どういう3辺の選び方でもいいです)。そして、それぞれの辺の対角の大きさをA, B, C (辺と区別するために大文字にします。aの対角はA, … というように対応させなければなりません)とすると:
(a / sin A) = ( b / sin B) = ( c / sin C)
が成り立ちます。(これを「正弦法則」と呼ぶこともあります)
さらに、この式の値は、その三角形の外接円の直径の長さに等しくなります。外接円の半径の長さをrと置いて(半径は英語でradiusなので頭文字のrを使います)、「上の式=2r」
という風に書いて「正弦定理」とするのが日本では一般的です。

三角形の
「2つの角度と1つの辺の長さがわかっているとき」
「2つの辺の長さと、その2つの辺に囲まれていない角度がわかっているとき」
に正弦定理を用いれば、すべての辺の長さとすべての角度がわかります。

普通、正弦定理といえば、平面の三角形を考えている場合が多いですが、球面(球の表面のこと)にある三角形でも正弦定理というものがあります(ただし、平面のときとは式が異なります)。
平面の正弦定理が初めて誰かの著作に登場したのは、13世紀でした。著者はトゥースィー(Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī)というペルシャ人で、数学や天文学などの分野で業績をあげました。


余弦定理 よげんていり 余弦法則 よげんほうそく the law of cosines (also known as the cosine formula or cosine rule)
三角形の辺と、角の余弦(コサイン)の関係を表した式を余弦定理(余弦法則)といいます。三角形のそれぞれの辺の長さをa, b, c (どういう選び方でもいいです)とし、それぞれの辺の対角の角度をA, B, C とします(aの対角がA…となるように対応させなければなりません)。このとき:
a^2 = b^2 + c^2 -2×b×c×cos A
が成り立ちます。

余弦定理に、角度90度を代入してみると、cos90°の値は0なので、「-2×b×c×cosA」の値がゼロとなり、
「a^2 = b^2 + c^2」
というピタゴラスの定理が得られます。よって、ピタゴラスの定理は余弦定理の特殊な場合、という風に考えることができます。余弦定理は、ピタゴラスの定理を一般化したものになっていると考えるのです。一般化とは、応用範囲が広がっているということです。ピタゴラスの定理が直角三角形のみに対して成り立つものであったのに対し、余弦定理はどんな三角形にも成り立ちます。

余弦定理も、平面だけでなく球面で同じような考え方が出来ます(球面の余弦定理と平面の余弦定理の式は違います)。平面の余弦定理が初めて体系的に記されたのは、15世紀のアル・カーシー(Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Masʾūd al-Kāshī)というペルシャ人の手によります。


正弦定理と余弦定理
ある三角形の
①「3辺の長さがわかっている」
②「2辺の長さと、その間の角の大きさがわかっている」
③「1辺の長さと、その両端にある角の大きさがわかっている」
という3つの状態のうち、どれかひとつの状態になっていれば、正弦定理と余弦定理を用いることによって、その三角形の全ての辺の長さと、全ての角の大きさを計算することができます。
三角形の合同条件と全く同じです。というか、正弦定理・余弦定理は三角形の合同条件を数字で表してくれているのです。
中学生のときに習ったものが、高校・大学レベルでしっかりと説明されることになる、ということは数学では多々あります。


球 きゅう Sphere; Ball
ボールの形をした立体図形のことです。中心の点から等しい距離にある点を全て集めたものが球の輪郭になっています。


ヘロンの公式 へろんのこうしき Heron's (or Hero's) formula
三角形の3辺の長さから面積を求める公式です。直角三角形に限らず、どんな形の三角形でもこの公式が使えます。
ヘロンの公式では、3辺の長さを2で割ったものをsと置きます。これは、半周(外周の半分のこと)を英語でsemiperometerと言うからです。

ヘロンは古代ギリシャの数学者です。紀元1世紀の人物です。Hero (or Heron) of Alexandria (Greek: Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς) (c. 10–70 AD)

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