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数Ⅰ⑤ 三角比

三角比 さんかくひ 
三角比は、直角三角形の3辺のうちの2辺(どの2辺でもよい)の比のことです。この比は全部で6種類考えることができますが、高校生レベルでは、そのうちの3種類を考えることになります(詳しくは正弦などの項目)。

三角比は数千年前から測量に利用されてきた考えであるし、三角比の考えを拡張していったものが現代数学の重要な考えにつながっています。

具体的には:
直角三角形は、直角以外の2つの角のうちのどちらか一つの角度がわかれば、残りの一つの角度も自動的に決まります(三角形の内角の和は180度と決まっているので、直角ともう一つの角が同じならば、残りの1つの角度も同じにならなければなりません)。そして、2つ以上直角三角形があり、それらの内角の角度が同じになっているのならば(例えば90度-30度―60度)、それらの直角三角形はどんな大きさでも相似になります。
相似であるならば、直角三角形の3辺からどれか2つを選んだとき、その2つの辺の比は、どんな大きさでも必ず同じになります。
相似の復習をすると:
斜辺が√2で、残りの辺の長さがそれぞれ1の直角三角形(直角二等辺三角形)と、斜辺が2√2で、残りの辺の長さがそれぞれ2の直角三角形(直角二等辺三角形)を考えます。
この2つの直角二等辺三角形は、片方がもう一方の2倍の大きさになっていますが、お互いに相似な三角形です。角度は90度―45度―45度です(二等辺三角形の底角は角度が等しくなります)。
これらのうち、それぞれの三角形の、斜辺と底辺(図を書いたときに下にある方の辺)の比を考えると、どちらも「(√2)/1」になっています。このように、それぞれの三角形の大きさは違っても、対応する辺からどれか2辺を選んでその比を比べると、その比の値は等しくなります。

この相似の性質を利用すれば、直角三角形のどれが一つの角がわかれば、その直角三角形の3辺のうちの2辺の比がわかります。この考えをまとめて、ある角度を入力したら、その角度に関係する比の値が結果としてでてくるという関数を「sin, cos, tan」という形にまとめて問題を解いていくのが三角比を学ぶ理由です。


正弦 せいげん;サイン Sine 
直角三角形の直角以外の一つの角を考えたときに、斜辺とその角の対辺の比のことを正弦(またはサイン)とよびます。数式で使う場合には「sin」という記号が使われます。

余弦 よげん;コサイン Cosine
直角三角形の直角以外の一つの角を考えたときに、斜辺とその角の隣辺の比のことを余弦(またはコサイン)とよびます。数式で使う場合には「cos」という記号が使われます。
英語の発音では(コゥサイン)という感じの発音になります。「co-」は接頭辞です。

正接 せいせつ;タンジェント Tangent

直角三角形の直角以外の一つの角を考えたときに、その角の隣辺と対辺の比のことを正接(またはタンジェント)と呼びます。数式で使う場合には「tan」という記号が使われます。

基本対称式 きほんたいしょうしき
ある2つの変数(ここではその2変数をxとyとします)を使った対称式は、すべてx+y, xyという式を用いたものに変形できます。このように、対称式を表すのに基本となるもの式のことを基本対称式といいます。(基本対称式は2変数だけでなく、3変数・4変数などの場合でも考えます。その場合2変数の基本対称式とは違ったものになります。)

単位円 たんいえん Unit circle
半径が1の円のことを単位円といいます。「単位」は基準となる量のことです。
単位円を用いれば、角度が0度や90度より大きいときなどの三角比を考えることができるようになります(三角比の考えを拡張できるのです)。
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