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中3 ④

拡大 かくだい Enlarging; Enlargement
ある図形があったときに、その図形の辺の長さをすべて同じ割合で伸ばすことを拡大するという。拡大しても、角度の大きさは元の図形と変わらないことに注意して下さい。

縮小 しゅくしょう Shrinking
ある図形があったときに、その図形の辺の長さをすべて同じ割合で縮めることを縮小するといいます。縮小しても、角度の大きさは元の図形と変わらないことに注意して下さい。

相似 そうじ Similarity
相似という漢字の意味は「互いに似ている」という意味ですが、数学の図形分野において相似と言うと、ある2つ以上の図形の形が全く同じ場合を相似といいます。注意すべきは、形が同じであればよいので、大きさ(=辺の長さ)は問題ではありません。すなわち、拡大・縮小をすれば、ぴったり重なりあう図形のことを相似であると呼んでいます。

三角形の相似条件 さんかくけいのそうじじょうけん
ある2つ以上の三角形があったときに:

・1つの三角形の辺と比べたい三角形の辺を比べて見ると、対応する辺の組の比がすべて同じになる
・1つの三角形の辺と比べたい三角形の辺を比べて見ると、対応する2組の辺の比が同じで、かつ、比べる行為をした二辺
  の間にある角の大きさが同じである
・1つの三角形と比べたい三角形の角の大きさをくらべてみると、2組の角の大きさが同じであるとき

の3つのうち、どれか一つがわかれば比べている三角形は相似であるとわかります。


平行線と比
3つの平行な直線l,m,nがあって、その3つの直線に2つの直線a,bが交わっているとします。そのときの交点をA,B,C,D,E,Fとすると、AB:BC =DE:EF となります。

なぜこうなるかというと、点Aと点F(もしくは点Cと点D)を結ぶと、相似な三角形が現れてくるからです)


中点連結定理 ちゅうてんれんけつていり
ある1つの三角形を考えます。その三角形の三つの辺から二つの辺を選んで(どの2本の組み合わせでもよいです)、その2つの辺のそれぞれの中点を結ぶ線分を書きます。そのとき、その線分は、最初に選ばなかった残りの一つの辺の長さの半分であり、かつ、その辺(=選ばなかった辺)と平行になります。このことを中点連結定理と呼びます.
2つの中点を結んであげたときにできる線分に関する定理なので中点連結定理という名称なのです。
三角形ABCがあり、辺ABの中点をM、辺ACの中点をNとすると:


中点連結定理の証明は、「相似」と「平行」に関する知識が必要です。まず、線分を結ぶことによって、元の三角形に相似な三角形が出来上がります(上の画像でいうと三角形AMNです)。なぜなら、対応する2組の辺の比が等しく(中点を結んでいるからです)、その間にある角を2つの三角形を共有していて、三角形の相似条件を満たすからです。

相似な三角形は対応する辺の比が等しいので、MNはBCの2分の1になっていると言えます。
(AMはABの中点なのでABの2分の1だし、ANもACの中点なのでACの2分の1です。)

また、相似な三角形ですから、対応する角の大きさはそれぞれ等しくなります。そうすると、中点を結んだ線分と、最初に選ばなかった辺は、同位角が等しくなっていることがわかります。

同位角が等しければその2つの辺は平行の関係にあります(「平行ならば同位角が等しい」の逆である「同位角が等しいならば平行である」も正しいのです)。
よって、MNとBCは平行であるといえるのです。

内接四角形 ないせつしかくけい
円の内側に四角形があり、その四角形の四つの頂点が円周にあるとき、その四角形は円に内接(=内側で接する)する、と言います。また、このときの円をこの四角形の外接円(Circumscribed circle)といいます。

相似比と面積比 そうじひとめんせきひ
ある2つ以上の相似な図形があった場合に、その面積比は必ず相似比の2倍になります。
この法則は簡単な例を使って覚えるのが一番です。横と縦の長さが1の正方形と、横と縦の長さが2の正方形を考えます。この2つの図形は相似であり、小さい方の正方形を基準にすれば相似比は2です。小さい方の正方形の面積は1であり、大きいほうの正方形の面積は4です。よって、相似比は2、面積比は4という関係が成り立っています。
もちろん四角形だけではなく、三角形などでも相似であれば法則は成り立ちます。

相似比と体積比 そうじひとたいせきひ
ある2つ以上の相似な図形があった場合に、その体積比は必ず相似比の3倍になります。

この法則も簡単な例を使って覚えるのが一番です。横と縦と高さが1の立方体と、横と縦と高さが2の立方体を考えます。この2つの図形は相似であり、小さい方の立方体を基準にすれば相似比は2です。小さい方の立方体の体積は1です。大きいほうの体積は8です。よって、相似比は2、体積比は8です。(8は2の三乗です)


三平方の定理(ピタゴラスの定理)さんへいほうのていり The Pythagorean theorem or The Pythagoras' theorem
直角三角形の辺の長さに関する定理です。ピタゴラスは古代ギリシャの数学者です(彼自身は紀元前500年前後に活躍したとされています)。
直角三角形の斜辺の長さの2乗は、残りの辺の片方を2乗したものと、もう片方を2乗したものを足した値に等しい、という定理です。
斜辺の長さをc, 残りの2辺の長さをそれぞれa, bとおくと:
c^2= a^2+b^2
という式が成り立ちます。(この定理の場合はa,bを2辺のどちらにしても良いです。大切なのは斜辺を特別視してあげることです)
(^2は2乗という意味です。c^2はcの2乗(=c×c)ということです。)


この定理には、3つの平方(=2乗のこと)が現れるので、三平方の定理と呼ばれます。英語圏では『ピタゴラスの定理』と呼ぶのが一般的です。ただ、少なくともピタゴラスが生きた時代の1000年前にはすでにこの定理が利用されていた形跡が見つかっていたりして、この定理の歴史には多くの議論があったりします。


三角形の内接円 さんかくけいのないせつえん Incircle; Inscribed circle

三角形に内接(=内側で接している)している円のことです。この円の中心は、三角形の三つの角の二等分線を引いたときにその3つの線が交わる点になります。この点(=つまり、内接円の中心)のことを三角形の内心(Incenter)といいます。
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