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H23数ⅡB 第3問 その2

次に、自然数nに対してSn=Σ(k=1からk=nまで) k|yn|を求める。
r=|1/4|とおくと、Snはどう書けるか。


前の問題部分で
yn = (-1/4)^(n-1)
と求めてあるので、これを代入してあげると:
Sn = Σ(k=1からk=nまで) k|(-1/4)^(n-1)|
です。

ここで、絶対値の記号の中の式は
|-1|・|(1/4)^(n-1)|
=1・|1/4|^(n-1)
=|1/4|^(n-1)
と変形できます。

r=|1/4|とおくのですから:
Sn=Σ(k=1からk=nまで) k・r^(n-1)
と書けます。

この式の意味は、
(初項1から1ずつ増えていく等差数列)×(初項1、公比1/4の等比数列)
です。

等差数列×等比数列の和というのはセンター試験では良く出る問題みたいです。これの和Snの求め方は、Snから、Snに等比数列の公比rを掛けたものを引くことで、和の公式が使えるような形に変形することです。
具体的には:
r・Sn = Σ(k=1からk=nまで) k・r^n
(rを掛けるので、r^(n-1+1)、つまり、r^nになるのです)
になります。

各項の足し算の形で書くと:
Sn = 1・r^0 + 2・r^1 + 3・r^2 ... n・r^(n-1)
r・Sn = 1^r^1 + 2^r^2 + 3r^3 ... n・r^n
になります。
Sn-r・Snを、各項がそろうように筆算の形で書けば:

となります。
最後の式の左辺はSn-r・SnをSnでくくったものです。また、右辺では、差に現れた初項1、公比rの等比数列の和をシグマを使って表しています。最後の-nr^nはその等比数列には含まれないので残してあります。

ここで、公比が1でない等比数列の和というのは:
a(1-r^n) /(1-r)
という公式がありましたので、シグマの部分をこれで置き換えると(初項a=1です):
Sn(1-r) = {(1-r^n) /(1-r)} -nr^n
となります。
あとは、両辺を(1-r)で割り、r=1/4を代入してやると:
Sn = 16/9 {1-(1/4)^n} -(n/3)(1/4)^(n-1)
が答えです。


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