スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

H23数ⅡB 第3問

(nやn+1などは添え字(=右下に小さく書かれる文字や数字)を示しています。見にくい部分が多いかもしれません。ご注意ください)

数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点PとP(a)と表す。

数直線上に点P1(1),P2(2)をとる。線分P1P2を3:1に内分する点をP3とする。
一般に、自然数nに対して、線分PnPn+1を3:1に内分する点をPn+2とする。
点Pnの座標をxnとする。

図にすると:

という感じです。


x1=1, x2=2である。x3はいくつか。


線分をm:nに内分する点の公式:
(nx1+mx2) / (m+n) 
を用います。

x3はx1とx2を3:1に内分する点ですから、公式のmに3、nに1を代入して:
1・1+3・2/ (3+1) = 7/4
よって、
x3は7/4
です。


数列{xn}の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考える。
自然数nに対してyn= xn+1とすると、y1, yn+1はそれぞれどんな値になるか。


y1 =x2-x1
なので、
y1= 2-1 =1
となります。


y(n+1) = x(n+2) –x(n+1)
です。
ここで、x(n+2)の値はxn,x(n+1)を3:1に内分する点ですから:
x(n+2) = 1・xn+3・x(n+1) / (3+1) = 1/4xn+3/4x(n+1)
と書けます。
これを
y(n+1) = x(n+2) –x(n+1) 
に代入すると:
y(n+1) = 1/4xn+3/4x(n+1) –x(n+1)
= 1/4xn-1/4x(n+1)
となります。

…が、解答欄を見るとynを使って表さなければならないので、どうにかynを使えるように変形しなければなりません。
ここで右辺を-1/4でくくると:
y(n+1) = -1/4 {x(n+1)-xn}
です。
x(n+1)-xnというのは、ynのことですから、
y(n+1) = -1/4yn
です。


yn, xnはどうなるか。


先ほど求めた
y(n+1) = -1/4yn
という式が表しているのは、前の項を-1/4倍したら次の項になる、ということです。
つまり、ynというのは公比が-1/4の等比数列ということです。
また、y1、つまり初項はもう求めてあるので(=1)、等比数列の一般項を表す式
a・r^(n-1)  (aは初項、rは公比)
にこれに代入すると:
yn = 1・(-1/4)^(n-1)
=-1/4^(n-1)


次にxnを求めます。ある数列の初項と、そのある数列の階差数列がわかっているならば:
xn=x1+Σ(k=1からk=n-1まで)yk
という関係が成り立ちます。


(この関係は簡単な数列を書いて確かめてみるとわかりやすいと思います。例えば1,3,7,13,21 …という数列とその階差数列である2,4,6,8 …というのを図にかいてみると図のようになります。ここで、階差数列をどんどん足していけば求めたいxnが求められます。



x1=1
初項a,公比rの等比数列の和は公比rが1でない場合:
Sn = a(1-r^n) /(1-r)
で求めることができますので:
xn =1 + 1・(1-(-1/4)^n) /(1-(-1/4)
となります。
これを計算すると
9/5 -4/5・(-1/4)^(n-1)
です。
スポンサーサイト

コメントの投稿

非公開コメント

プロフィール

mathgalois

Author:mathgalois
FC2ブログへようこそ!

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
カウンター
QRコード
QR
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。