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H23数ⅡB 第2問

座標平面上で、放物線y=x^2 をCとする。

曲線C上の点Pのx座標をaとすると、点PにおけるCの接線l(エル)の方程式はどうなるか。


Pは曲線C上にあるので、Pの座標は(a, a^2)になります。
またy=x^2を微分するとy=2xが各点の接線の傾きを教えてくれる関数になります。
したがって、x座標がaのときの傾きは2aになります。
以上のことを接線の公式に当てはめます。


y=f(x) 上にある点(a, f(a)) における接線の方程式は:
y-f(a) = f´(a)(x-a)


f(a)というのは、x座標がaのときのy座標の値という意味ですから、今回の問題の場合f(a) = a^2 です。
したがって:
y-a^2 = 2a(x-a)
左辺の-a^2を右辺に移項し、右辺を展開して整理すると:
y = 2ax -2a^2+a^2
= 2ax-a^2


a≠0のとき直線l(エル)がx軸と交わる点をQとすると、点Qの座標はどうなるか。


Qは直線l(エル)上にあり、そのy座標は0であるのでl(エル)の式にそれを代入して:
0= 2ax-a^2
xについてとくと:
x =a/2

よってQの座標は(a/2, 0)


a>0のとき、曲線Cと直線l(エル)およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると、Sはどう表すことができるか。


Sをどう求めたらよいかということですが、0からaまでの範囲での、曲線Cとx軸に囲まれた部分の面積から、直線lがx軸と交わる部分からaまでの範囲での直線lとx軸に囲まれた部分の面積(三角形になっています)を引けばよくなります。

0からaまでの範囲での、曲線Cとx軸に囲まれた部分の面積は、積分を利用して求めます:
∫(0からaまで)(x^2)dx = [1/3x^3](0からaまで) = (1/3a^3) -0 = 1/3a^3

直線lがx軸と交わる部分からaまでの範囲での直線lとx軸に囲まれた部分の面積:
直線lがx軸と交わる点Qの座標はもう求めてあり、(a/2, 0)です。したがって、求めたい三角形の底辺が(a-a/2) =1/2a です。三角形の高さはa^2ですから:
1/2a・a^2・1/2 = (a^3)/4


したがって、Sの面積は:
(1/3・a^3 - a^3/4) = (4a^3)/12 - 3a^3/12 = 1/12・a^3


a<2のとき、曲線Cと直線l(エル)および直線x=2で囲まれた図形の面積をTとすると、Tはどう表すことができるか。



ここで面積を求めるときに2曲線に囲まれた部分の面積の公式を使います。



aから2まで範囲で考えると、曲線Cは常に直線lの上にあるので、その2つの線に囲まれた部分の面積は:
T = ∫(aから2まで){x^2-(2ax-a^2)}dx
= [1/3x^3 -ax^2 + ax^2](aから2まで)
= -a^3/3+2a^2-4a+8/3


a=0のときは、S=0, a=2のときはT=0であるとして、0≦a≦2に対してU=S+Tと置く。
aがこの範囲を動くとき、Uの最大値・最小値とそのときのaの値をそれぞれ求めよ。


S+Tを計算すると3次関数になります。
極値を求め、増減表を利用して最大値・最小値を求めていきます。
(極値とは関数が増加から減少、または減少から増加に転じる境目の値のことです。ある関数がx=aのとき極値を取るならば、f´(a) = 0 になります。(定義域が決まっていない場合)関数の最大値・最小値は必ず極値の一つであるので、極値を利用すれば最大値・最小値を求めるヒントになります。今回の問題の場合はaの定義域が決まっているので、極値のときのUの値と、定義域の2つの端のときのUの値を比較します)


U(a) = S+T = -(a^3)/4 + 2a^2 -4a + 8/3

Uをaについて微分すると:
U´(a) = -3/4・a^2 + 4a -4
そして、この式から極値を求めます。
0 = -3/4・a^2 + 4a -4
= -1/4(3a-4)(a-4)

したがって、a=4/3, 4のときが極値になります。
ただし、0≦a≦2という範囲で考えているので、その範囲に含まれないa=4のときは考えなくて良いです。

U(0), U(4/3), U(2)の値を求めて、増減表を書くと:

となります。

増減表より:
Uはa=0で最大値8/3をとり、a=4/3で最小値8/27を取ります。
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