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H23数ⅡB 第1問 [2]

次の2つの条件を満たす自然数xを求めていく。
①12(log(2) √x)^2-7log(4)x -10>0
②x+log(3)x<14

まず、xを正の実数として、条件①を考える。X=log(2)xとおくと、①の式はどのように書き換えられるか。ただし、係数は整数であるとする。


①の式の第1項を考えます。対数の性質を利用します。





log(2)√x=log(2)x^(1/2) = 1/2 log(2)x
と変形できます。

これは1/2Xと置けますから:
12(log(2)√x)^2 = 12(1/2X)^2 = 12・1/4X^2 = 3X
となります。


2つ目の項は底が2ではなく4ですので、対数の性質(底の変換公式)を利用して底を2にします。





log(4)x = log(2)x / log(2)4 =log(2)x / 2
と変形できます。
よって:
7log(4)x = 7/2 log(2)x =7/2X
となります。

上記のことを整理すると、①の式は
3X – 7/2X -10 >0
と置けます。
係数を整数にするために両辺に2を掛けると:
6X-7X-20>0
となります。


上記の2次不等式を解き、条件①を満たす最小の自然数を求めよ。
①の左辺を因数分解すると:
(3X+4)(2X-5) >0
です。
この2次不等式をときます。

ですので、
X<-4/3, 5/2<X
となります。

これを満たす最小の自然数(つまりx>0)を求めたいのですから(Xではなくxを求めるとことに注意して下さい)
5/2<Xを利用すると:
log(2)x =5/2 すなわち x=√(2^5) = √32ですから
√32<xとなる最小の自然数を求めればよくなります。
5=√25
6=√36
ですから、6が最小の自然数です。
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