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H23数ⅡB 第1問 [1] その2

このとき、θ+(π/3)のとりうる値の範囲はどうなるか。


最初の条件で-π/2≦θ≦0という範囲で考えるとなっているので、これの全体にπ/3を加えると:
-π/2+π/3 ≦ θ+π/3 ≦0+π/3
整理して:
-π/6 ≦θ+π/3 ≦π/3
(必要はないですが、一応、度数で表すと-30°≦θ+60°≦60°です)


また、tの取りうる値の範囲はどうなるか。


t= 2sin(θ+π/3)という式は前の問題部分で求めましたので、これと
-π/6 ≦θ+π/3 ≦π/3
という範囲を考えると
sin(θ+π/3)が取りうる値は(θ+π/3)が-π/6のときが最小で、π/3のときが最大になりますので(sinの値は単位円で考えるとy座標であるのを思い出してください):
-1/2 ≦ sin(θ+π/3) ≦ √3/2
になります。
この全体に2を掛けると:
-1≦t≦√3
です。


yが最小値をとるときの、その最小値、t、θの値をそれぞれ求めよ。


y= t^2-2t-2
となっているので、右辺を平方完成すると:
y =(t-1)^2-3
となります。
これは、グラフで考えると、頂点が(1,-3)で下に凸(上に開いている)グラフになります。

-1≦t≦√3
という範囲でどの点が最小値になるかというと、t=1のとき、すなわち頂点が最小値をとることになります(下に凸のグラフなので)。

これは
t = 2sin(θ+π/3) = 1
になれば良いということですから:
sin(θ+π/3) = 1/2
になるような(θ+π/3)の値を求めればよいということです。

1/2の値をとるのはsin(π/6)ですので:
θ+π/3 =π/6
θ=-π/6
(これはθがとる範囲を満たします)。

したがって、t=1, θ=-π/6のとき、yは最小値3を取ります。
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