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H23 数ⅡB 第1問 [1]

-(π/2)≦θ≦0のとき、関数:
y = cos(2θ)+√3sin(2θ)-2√3cosθ-2sinθ

の最小値を求めていく。

t= sinθ+√3cosθとおいたとき、t^2の値はいくつか。


この問題は「t=a+√3b」を展開するのと同じように単純に展開すればよいので:
t^2 = sin^2(θ)+2√3sinθcosθ+3cos^2(θ)
となります。
しかし、解答部分を見るとこの形にはなっていないので、どうにか変形しなければなりません。

数Ⅰで習った三角関数の性質である「sin^2 (θ)+cos^2(θ) =1」を利用すると
sin^2(θ)=1-cos^2(θ)
と書き換えることができるので:
t^2 = 1-cos^2(θ)+ 2√3sinθcosθ+3cos^2(θ)
= 2cos^2(θ)+2√3sinθcosθ+1
となります。


yをt^2-at-bの形で表す場合、aとbの値は何か。

t^2とyの式を比較すると、yの式ではcos(2θ)などが使われていて、t^2の項とは一致していません。この場合は、t^2、もしくはyのどちらかを変形してあげます。

yの式に現れているcos(2θ)とsin(2θ)は三角関数の加法定理を使って変形します。


三角関数の加法定理:

です。2倍角の公式というものもありますが、この加法定理から導かれるものなので、この加法定理を知っていれば問題ありません。例えば、cos(2θ)というのは、cos(θ+θ)と考えて、上の定理のαとβにθを代入して整理すればよいです。


まず:
cos(2θ) = cos(θ+θ) = cosθcosθ-sinθsinθ = cos^2(θ)-sin^2(θ)
です。
ですが、tのほうの式にはsin^2(θ)が現れていないので、先ほど使用した
sin^2(θ) = 1-cos^2(θ)
をまた利用すると:
cos(2θ) = cos^2(θ)-(1-cos^2(θ)) = 2cos^2(θ)-1
となります。

sin(2θ) = sin(θ+θ) = sinθcosθ+cosθsinθ = 2sinθcosθ
よってyを書き換えると:
y = 2cos^2(θ)-1+2√3sinθcosθ-2√3cosθ-2sinθ
となります。


目的としては、 y=t^2-at-bの形にすることですが、これはすなわち右辺の項を全て左辺に移項すれば:
y-t^2+at+b = 0
の形にすればいいと言っているのと同じことです。

y-t^2 = -2√3cosθ-2sinθ-2 =-2(√3cosθ-sinθ)-2
ですので、これがat+bと一致すればよいです。

t=sinθ+cosθですので
a=-2、b=-2
だとわかります。

したがって:
y =t^2-2t-2


tをsinのみを使って表すとどうなるか。


三角関数の合成の問題です。
三角関数の合成とは「asinθ+bcosθ」という形の式を「√(a^2+b^2) sin(θ+α)」という形に直して、サインのみで表すようにすることです。
直した後の「α」の値は「sinα=b/√(a^2+b^2)」かつ「cosα=a/√(a^2+b^2)」を満たす値です。





以上のことを利用すると:
t=sinθ+√3cosθ
ですから、a=1, b=√3より:
√(a^2+b^2) = √(1+3) = √4 =2

sinα=√3/2 かつ cosα=1/2より:
α= π/3 (=60°)

よって:
t=2sin(θ+π/3)
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