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H23数ⅠA 第3問

点Oを中心とする円Oの円周上に4点A,B,C,Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さはそれぞれ:
AB =√7
BC=2√7
CD=√3
DA=2√3


であるとする。


(1)
∠ABC=θ, AC=xとおいたたとき、△ABCに着目して、cosθを利用すると、x^2はどのように表すことができるか。


余弦定理を利用します。


余弦定理とは:

という関係が成り立つという定理のことです。


余弦定理より:
x^2 = (AB)^2 + (BC)^2 -2・AB・BC・cosθ
が成り立ちます。
AB、BCの値は:
AB =√7
BC=2√7
とわかっているので、それらを上の式に代入すると:
x^2 = (√7)^2 + (2√7)^2 -2・ √7・2√7・cosθ
  =7+ 28 -28・cosθ
  =35 – 28cosθ
となります。


△ACDに着目してcosθを利用すると、x^2はどのように表すことができるか。


このときも余弦定理を利用していくのですが、このときに円に内接する四角形の重要な性質である「対角の和は180度である」ことを利用します。こうすると、∠CDAというのは、「180°-∠ABC」、すなわち、「180°-θ」と表すことができます。

余弦定理より:
(AC)^2 = (CD)^2 + (DA)^2 -2・CD・DA・cos(180-θ)
が成り立っています。
CD=√3
DA=2√3
という条件は最初に与えられているので、これらの値はそのまま代入すればよいです。

注意点としては、cosの性質として、「cos(180°-θ) = -cosθ」というのがあるので、それを利用します(問題冊子の解答部分を見ると、cosθの係数の符号が+になっているので、そういう変形をしてあげないといけないことがわかります)。

上の式に代入すると:
x^2 = (√3)^2 + (2√3)^2 -2・√3・2√3・(-cosθ)
  =3 + 12 +12cosθ
  =15 +12cosθ
となります。


以上のことから、cosθの値とxの値はそれぞれいくらか。


x^2を表す式が2つあり、これらの式同士は等しいはずですので:
35 – 28cosθ=15 +12cosθ
という方程式を解けばよいです。
変形していくと:
40cosθ=20
cosθ=1/2
となります。

(ここで、θの角度を考えておきます。後でこの知識が必要になるからです。
このときのθというのは四角形の角ですから、0°<θ<180°の範囲でなければなりません(そうでないと四角形にならないからです)。
このθの範囲でcosθ=1/2を満たすのは:
θ=60°
となります。)

cosθの値はもうわかっているので、先ほどまとめた2つの式:
①x^2=35 – 28cosθ
②x^2=15 +12cosθ
のどちらでも好きなほうにcosθ=1/2を代入すればxの値がわかります(このとき、xは線分ACの長さなので「x>0」という条件に注意すれば:
x^2=21
x = √21
となります。


円Oの半径はいくらか。

円Oというのは、△ABCの外接円でもあり、△ACDの外接円でもあります。この円の半径を求めたいのですから、2つのどちらかの三角形に正弦定理を使います(どちらでも好きなほうを利用すればよいです)。


正弦定理というのは、例えばある△ABCがあり、∠A、∠B、∠Cの対辺をそれぞれa,b,cとし、△ABCの外接円の半径をrとすると:
a/ sinA = b/sinB = c/sinC = 2r
が成り立つという定理のことです。



問題にもどって、△ABCに正弦定理を用います。∠ABC=60°であり、sin60°=√3/2、AC=√21ですから:
√21/ (√3/2) = 2r
これを解くと:
r = √7
です。よって、円Oの半径は√7になります。

(△ACDについて考えると、∠ACDは120°ですから、
x/sin120°= √21 /(√3/2) = 2r
となり、これを解けばr=√7になります)。


また、四角形ABCDの面積はいくらか。


四角形ABCDは2つの三角形、△ABCと△ACDに分割できますから、それぞれの三角形の面積を求め最後にその2つを足す、という方向で考えていきます。

三角形の面積は、1つの角の大きさと、その角を作っている2本の辺の長さがわかれば求めることができます。すなわち、△ABC、それぞれの角の対辺をa,b,cとすると:
面積S = 1/2・b・c・sinA = 1/2・casinB = 1/2 absinC
となります。



△ABCの面積は、1/2・AB・BC・sin60°で求めることができるので:
S= 1/2・√7・2√7・√3/2 =(7√3)/2

△ACDの面積は1/2・CD・DA・sin120°で求めることができるので:
S =1/2・√3・2√3・√3/2 = (3√3)/2

2つの三角形の面積を足すと:
(7√3)/2 + (3√3)/2 = (10√3) /2 = 5√3

よって、5√3が答えになります。
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