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H23数ⅠA 第2問 その3

Gの式は:

です。


(2) b>0とする。
0≦x≦bにおける2次関数①の最小値が-(1/4) であるとき、bの値はいくつか。


この問題は、xの範囲を考えたときに、x座標がいくつのときに最小値をとるかを考えます。そして、そのxの値を参考にしてbの値を求めていきます。

ある範囲での2次関数の最大値・最小値を考えるときには、その放物線の「a」の値、すなわち上に凸か下に凸かということと、頂点の座標がヒントになります(例えば、xの範囲が何も決まっていないときには、上に凸の(下に開いている)グラフでは頂点のy座標が最大値になる、というようなことです)。

Gは上に凸の(下に開いている)グラフであり、前の問題から頂点の座標は
(2b, b^2+b-3/4)
とわかっています。これとb>0という条件を合わせて求めたいグラフの大まかな形を考えると:

という感じになります。

xがだんだん増えて2bになるときまで、yの値は減少していくことがわかりますから、yが最小値をとるときのx座標は0だとわかります。
あとはこのxとyの値をGの式に代入して:
-1/4 = b-3/4
これを解くと
b = 2/4 = 1/2
(この記事の一番最初に紹介した2つの式のどちらにxとyの値を代入しても良かったのですが、上の式に代入したほうが簡単です)


一方、x≧bにおける2次関数①の最大値が3であるとき、bの値はいくつか。

Gは下に凸の放物線ですから、x≧bの範囲において、x=2b(頂点)のときに最大値をとります。
よって、Gの式にx=2bとy=3を代入します。
3 = b^2+b-3/4
(この記事の一番最初に紹介した2つの式のどちらにxとyの値を代入しても良かったのですが、下の式に代入したほうが簡単です)

これを整理すると:
b^2+b^-15/4 =0

解の公式(-b±√(b^2-4ac) / 2a)
を利用すると:
b = 3/2. -5/2
となります。

ここで、最初にb>0という条件がありましたから
b = 3/2
が答えです。


b=(1/2) , b= (3/2) のときの①のグラフをそれぞれG1, G2(1,2は添え字)とする。
G1をどのように平行移動するとG2に重なるか。


どのように平行移動するかは、G1とG2の頂点の座標を比べればわかります。
ここで、頂点の座標というのは:
(2b, b^2+b-3/4)
とわかっていますので、これにb=1/2 と b=3/2を代入します。
すると、G1の頂点の座標は(1,0)、G2の頂点の座標は(3,3)となることがわかります。

問題は「G1をどのように平行移動してG2に重ねるか」ということです。
「(変化後)-(変化前)」をすればどのように変化するかがわかりますから、
「(G2の頂点の座標) - (G1の頂点の座標)」を計算すると:
「(3-1, 3-0)」 = 「(2,3)」

すなわち、x軸方向に2、y軸方向に3、平行移動すればよいです。

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