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H23数ⅠA 第2問

a,b,cを定数とし、a≠0, b≠0とする。xの2次関数
y = ax^2+bx+c
を①とし、そのグラフをGとする。


Gが
y = -3x^2 + 12bx
のグラフと同じ軸を持つとき、aの値はいくらか。(このaの値を②とする)


軸というのは放物線の頂点を通り、y軸に平行な直線のことです。x座標は常に一定なので「x=・・・」という形で軸は表されます。
どの位置に軸があるかは、放物線の式を変形して頂点の座標がわかる形にしてあげます。
(平方完成をする、といいます)
まず、Gの放物線の式を変形すると:
y =a(x^2 + (b/a)x) + c
= a {(x + (b/2a)}^2 – {(b^2)/(4a)}+c

となります。
よって、軸は
x=-(b/2a)
となります。

次に、y = -3x^2 + 12bxを変形すると:
y = -3(x^2 -4bx)
= -3 (x-2b) ^2 – 4b^2

よって、軸は
x=2b
となります。

これら2つのグラフの軸が同じであるから、
-(b/2a) = 2b
と書くことができます。
これを変形していきます。

両辺に2aを掛けると:
-b=4ab
両辺を4bで割ると:
-1/4 =a
となります。


さらに、Gが点(1, 2b-1)を通るときcをbを使って表すとどうなるか。(このcの値を③とする)
前の問題でaの値がわかっているので、Gのグラフの式(y =ax^2+bx+c)に代入してあげると:
y = -1/4x^2 +bx+ cとなります。

ここで、このグラフが点(1,2b-1)を通るといっているのですから、x=1, y =2b-1というのをGの式に代入することができます:
2b-1 = -1/4・(1)^2 + b・1+c
2b-1 = -1/4 +b +c

となります。後は、「c=…」の形になるように変形していきます。
両辺に(1/4-b)を加えると:
b-3/4 =c
となり、cをbを使って表すことが出来ました。
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