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H23数ⅠA 第1問 [1]

[1]
a = 3+2√2, b= 2+√3とすると、1/a, 1/b, a/b -b/aの値はそれぞれいくらか。


解答する部分を見ると、答えに分数が出てきていないのがわかるので、これらは分母の有理化の問題です。
分母の有理化とは、分母に累乗根(根号が使われている数=無理数)がある場合に、式を変形して分母を有理数にすることです。
有理化には、
「√a×√a=a」
「{ (√a)+(√b) ×(√a)-(√b) } = (√a)^2 - (√b)^2 = a –b」

というのを利用してあげます。
(今回の問題では上に2つある式のうち、下のほうの知識が必要です)


1/a = 1 / (3+2√2) です。
分母と分子の両方に(3-2√2)を掛けてやり分母を有理化します。
整理すれば答えは「3-2√2」になります。



1 /b = 1 / (2+√3) です。
分母と分子の両方に(2-√3)を掛けてやり、分母を有理化します。
整理すれば、答えは「2-√3」になります。



(a/b) = a・(1/b)であり、(b/a)= b・(1/a)ですので、前の部分の(1/a)と(1/b)の値を利用して計算していきます。



また、上記のとき、不等式
|2abx – a^2|<b^2 
を満たすxの値の範囲はどうなるか。


絶対値を含む方程式と不等式には以下の性質があります:


上記のことは教科書などに必ず載っていますので確認して下さい。
大事なのは、これは「aが正の数」であるときの解き方です。自分でaが10のときなどを考えてみて確認してみてください。

今回の問題を解くにあたっては、b^2 >0 ですから(bは0でないし、2乗するので決して負の数にはなりません)、上の画像の2段目のものを利用します。


ここで出てきた不等式ですが、真ん中の辺の「-a^2」を消すために、全部の辺に「a^2」を加えます。加減(足し算・引き算)の場合には不等号の向きは変わりません:


次に、真ん中の辺の「2ab」を消して「x」のみにするために、全部の辺を「2ab」で割ります。

不等号の除法(割り算)をするときには、「0で割ることにならないか」ということと「負の数で割るか」ということに注意します。「0で割ること」は数学では出来ない決まりであるし、「負の数で割る」と、不等号の向きを逆にしなければならないからです。

a = 3+2√2, b= 2+√3 であることから、「2ab≠0」であるし、「2ab>0」であるので、全ての辺を2abで割ることが可能であるし、2abで割っても不等号の向きは変わりません。
よって:


あとは計算すればよいだけなのですが、ここで計算が簡単になる工夫があります(その工夫をしなくても答えは出ます)。
不等式の左側と右側の式はそれぞれ、前の部分で出した答えが利用できるような形に変形できます:

また、


前の部分で、(a/b)と(b/a)の値はもう出ているので、計算の労力が減ります。
これを整理すれば:

という答えが出てきます。
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