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数A補足: 十分条件・必要条件・必要十分条件

十分・必要・必要十分条件というのは、センター試験でもよく出される考えです。

まず、教科書などにのっているような定義の仕方はというと:


PとQという2つの条件があって、P⇒Qが真であるとき:
「PはQであるための十分条件」といい、また「QはPであるための必要条件」であるという。

P⇒Q と Q⇒P の両方ともが真であるとき:
「PはQであるための必要十分条件」であり、また「QはPであるための必要十分条件」
であるという。


といった感じで書かれていると思います。
この定義はまさにその通りなんですが、日常の言葉の使い方とずれているような用語もありますので、説明していこうと思います。

まず、「条件」という言葉に関してなんですが、「P⇒Q」というときのPとQの両方とも「条件」と呼ばれることに注意が必要です。おそらく「⇒」という記号は「ならば」という意味で習う人が大半だと思うのですが、日常の感覚からいうと、「ならば」という言葉の前にある部分のみが条件だと思い込んでしまっても不思議ではありません。まずは、条件という言葉になれて欲しいと思います。
この「条件」という語に関してですが、「他方のために存在している状況」といった言葉で置き換えたほうが「必要条件」や「十分条件」の理解には早いかもしれません。

次に、必要条件や十分条件という言葉に関してですが、これらは「他方のために必ず満たされていなければならない状況」・「他方のためにそれが成り立っていれば十分な状況」という意味です。
また、一方が他方の必要条件である場合、その他方は元のものの十分条件になる、という風に、「必要条件」と「十分条件」は必ずセットで現れる、ということに注意して下さい。



…以上のことに気をつけていれば、後は「P⇒Q」が真であるというのはどういうことかをちゃんと復習すればよいだけです。というか、おそらく必要・十分条件の理解に一番ネックになるのはこの部分だと思います。なぜならば、「P⇒Q」または「Q⇒P」が真でなければ、P・Qは他方の十分条件でも必要条件でもないからです(上で紹介した定義を確認して下さい)。

数A③の記事でも書きましたが、「P⇒Q」が真であるとは、「PはQの部分集合である」という意味です。ベン図を用いたときに、Pという集合がQという集合にすっぽり入っているか、もしくはぴったり重なっていなければなりません。

ここを理解するのが一番大変かもしれません。…というか、これが「P⇒Q」が真であることの定義なので、図を自分で書いたりするなどして覚えなければなりませえん。そして、後はこの図を見ながら「必要条件」や「十分条件」という名前を考えればよいだけです。
上にも書きましたが、「必要条件というのは他方のために必ず満たされていなければならない状況」のことです。よって、「P⇒Q」が真であるとき、Q(大きいほう)はP(小さいほう)の必要条件である、と言えます。なぜならば、Qの中にPがあるので、Qが満たされていない、すなわち、Qの外にある場合にはそれがPになるはずがないからです。
そして、「P⇒Q」が真であるとき、P(小さい)はQ(大きいほう)の十分条件であると言えます。なぜならば、PであるならばQであるには十分であり、Pの外であってもQの中に入る可能性があるので、Qであるために必ずしもPである必要はないからです。

そして、「必要十分条件」というのは、「必要条件であり、かつ十分条件」という意味です。これはPとQがぴったり重なる場合を指しています。



…上記のことを踏まえれば、PとQが与えられた場合にすべきことは:
1「P⇒Q」の真偽を調べる
2「Q⇒P」の真偽を調べる
3 1と2が両方とも「偽」の場合、PやQは他方の必要条件でも十分条件でもない
4 1と2のどちらか片方が真である場合、ベン図を書いてみて小さい方が大きいほうの「十分条件」であり、大きいほうが小さい方の「必要条件」になっている
5 1と2の両方が真である場合、PとQはお互いの「必要十分条件」である

というプロセスを踏めばよいです。
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