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数A補足: 反復試行の確率

反復試行(はんぷくしこう)とは、同じ条件の試行(行為)を複数回繰り返すことを指します。複数回というのは、二回以上ならば何回でもよいです。ただし、「同じ条件」というのが非常に大事です。もし何か行為をした後に次の行為の条件が最初のときと違ってしまうならばそれは反復試行ではありません。

反復試行の例としては:
・コインを何回も投げる
・サイコロを何回も投げる
・袋に入っている数字のついたボールを選び、一度ボールを選んだあとにそのボールを袋に戻す
などです。
(3つ目の場合に、一度選んだボールを袋に戻さなかったら、それは反復試行ではなくなります)。


この記事ではその反復試行をした場合に、「…が何回起こる確率」というのを求めてみます。例えば、コインを連続して3回投げたときに表が2回でる確率、サイコロを4回振るときに1の目が2回でる確率、などです。これらは反復試行の確率と呼ばれます。
(教科書や参考書では、反復試行の確率を考えるときに、「…ちょうど2回起こる確率」や「2回だけ起こる確率」という風に、「ちょうど」や「だけ」という言葉が入っていることも多いかと思いますが、これらの言葉は別に気にしなくて良いです。言ってることは「2回起こる確率」と言っているのと同じです。)


例として、サイコロを使った反復試行を考えてみます(どの目が出る確率も同様に確からしい、つまりどの目が出る確率も同じだとします)。

サイコロを3回続けて投げたときに、2回「1の目」が出る確率を求めてみます。

…が、まずは1の目が出る確率などはちょっと置いておいて、1の目が2回出る「場合」というのを考えてみます。
3回投げて1が出る場合というのは、1の目が出た場合を○、それ以外の目が出た場合を×とするなら:
○○×
○×○
×○○
の3通りが考えられます。ここで注意してもらいたいのは、この3通りの場合を「全て異なるものとして扱」わなければならない、ということです。同じものとして扱ってはならないことに注意して下さい。

ここで、確率を考えてみます。1の目がでる確率というのは、サイコロのどの目が出る確率も同じなので、
(1/6)
になります。
そして、1の目がでない場合というのは、1の目が出るという事柄とは相容れない(=余事象(よじじょう)である)ので
1-(1/6) = 5/6
になります。
以上のことはつまり、上で考えた三通りの「○」の確率が「1/6」であり、「×」の確率が「5/6」であるということです。

そして、サイコロを3回投げる、という行為を考えているのですから、上の「○○×」などは、その3つが同時に起こっていると考えることが出来ます(時間的に同時に起こっているわけではなくて、複数回の行為を1セットとして考えている、という意味です)。よって、確率の積の法則を使います。

○○× という結果になる確率は:
(1/6) × (1/6) × (5/6)
になります(ここでは値は計算しないでおきます)。

○×○ という結果になる確率は:
(1/6) × (5/6) × (1/6)
になります。

×○○ という結果になる確率は:
(5/6) × (1/6) × (1/6)
になります。


そして、上の3つの場合というのは同時には起こらないことなので、後は和の法則を使い、それぞれの値を足せば求めたい確率がわかります。

ここで、それぞれの場合の確率の値に注目すると、すべて同じ値になっているのがわかります(掛け算の順番を変えただけなので)。よって、「どれか一つの場合の確率×3」をしてあげればよいことになります。

…この「3」というのは3通りあるから出てきた数字ですが、反復試行というものを考えた場合には、ある求めたい事柄が起こる場合の数というのは、「組み合わせ」を使えばわかるようになっています。
上の例で言えば:3回サイコロを投げる、つまり3つの箱の中から、「○」が入る箱を2つ選ぶといっているのと同じことです(何故そうなるかがわからない場合は、「組み合わせ」の補足記事や「同じものを含む順列」の記事などを復習してみてください)。

確認してみると:
C(3,2) = {P(3,2) / P(2,2)} = 3
となっています。

よって、上のサイコロの例を数式を使って表すと:

となります(答えの値は重要ではないので出しませんでした)。


確認になりますが:
C(3,2) の部分 ⇒ 1の目が2回でる場合の数
(1/6)^2 の部分 ⇒ 1の目が2回でる確率
(5/6) の部分 ⇒ 1以外の目が1回でる確率
になっています。


以上のことを、具体的な例を考えなくてもよいように一般化してみます。
「n」回繰り返す反復試行において、ある事象が起こる確率を「p」、それ以外の事象が起こる確率を「q(=1-p)」,そして、pが「r」回起こるとする場合、その確率は:

と書くことができます。

青線のCの部分は、求めたい結果が起こる場合の数
赤線の「p^r」の部分は、pがr回起こる確率
ピンク線の「q^(n-r)」の部分は、qが「n-r」回起こる確率、すなわちn回の中でpが起こらない確率
をそれぞれ表しています。
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