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数A補足: パスカルの三角形

パスカルの三角形とは、二項係数を段にして並べたものです(二項係数とは(a+b)^nを展開したときの各項の係数のことです)。

(右上や左上に数字がない場合は「0」と考えればよいです。上に書いた段で終わりではなく、この後も下に続いていきます)

最初の一つだけある「1」は0段目と考えると、「n段目の数の並びは、(a+b)をn乗したときの各項の係数」となっています。

(*ある値の0乗というのは、「1」になります。詳しくは数Ⅱで学習します)

したがって、例えば「(a+b)^4」展開した場合にどうなるかというと、パスカルの三角形の4段目(一番最初の段は0段目ということに注意して下さい)の数の並びを見て係数を確認し、項が右に行くにつれて、「a」は次数が下がっていき、bは次数があがっていけばよいので:

となることが簡単にわかります。


また、三角形に並べられた数字は右上にある数と左上にある数を足したものになっていることから、
組み合わせの性質
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
が簡単に確認できます。

パスカルの三角形において、それぞれの数字をCを使って表すと:

とかけます(これは、二項係数をCで表しただけです。なぜこうなるかがわからない場合は、二項定理の記事を確認して下さい)。

パスカルの三角形というのは、右上にある数字と左上に数字の和が並んでいるので、
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
となっています。
(例えば、C(3,2) = C(2,1) + C(2,2) = C(3-1, 2-1) + C(3-1,2)となっていることが確認できます。←図ではC(2,1)が右上にあって、 C(2,1)が左上にありますが、足し算なので順番は気にしなくてよいです)。
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