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数A補足: 「組み合わせ」の性質 その2

2つ目のC(n,r)の性質として
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
というものがあります。
具体的な例を出せば:
C(5,3) = C(4,2) + C(4,3) = 10[通り]
です。

まず、上の具体的な例の方の正しさを、定義を使って調べてみます。
C(5,3)を計算すると:

です。

C(4,2)は:

であり、
C(4,3)は:

となります。

よって:
C(5,3) = 10 = 6+4 = C(4,2) + C(4,3)
となっています。



ここから、何故この性質が成り立つのかを考えてみます。
上で使った「C(5,3)」、つまり「5個のものから順番をつけずに3個選ぶ組み合わせ」で説明します。

まず、5個の中から1つを適当にめぼしをつけます(選ぶ、と言ってもいいんですが、選び方は5通りあるなどとは考えなくてもよいので、選ぶとは違う言葉を使っておきます)。

そして、5個の中から3個を選んだときに、そのめぼしのつけたものが選ばれたものに入っているかいないかの2つの場合を考えるのです(この「めぼしをつけたものが入っているかいないか」というのは同時には起こらないので、この2つを最終的に和の法則を使って足してあげればよくなります)。

まず、めぼしをつけたものが選ばれた3個の中に入っている場合の総数は、3個の中のうちの一つが必ずそのめぼしをつけたもののわけですから、そのめぼしをつけたもの以外の4つから2つを選ぶ総数と一致するはずです。

次に、めぼしをつけたものが選ばれたものに入っていない場合の総数は、3個の中にめぼしをつけたものが入ってはいけないのですから、最初からそのめぼしをつけたものを除外した4つの中から3個を選ぶことに等しいはずです。

繰り返しになりますが、めぼしをつけたものが入っている場合と入っていない場合というのは同時には起こらないことなので、和の法則を使えば:
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
という性質の右辺の式になります。


*一応、注意点として、上の性質の式を使う場合は、
(2≦n, かつ 1≦r≦(n-1))
という条件がつきます。
2≦nというのは(n-1)が0になってしまわないようにするためであり、1≦r≦(n-1)というのは、r-1が負の値にならないようにするためです。
ただ、負の値の組み合わせが出てきた時点で計算ができないことに気付くはずなので、そこまで敏感に注意しなくても大丈夫です。
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