スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

数A補足: 組み合わせ

(今回の記事の画像の「n」と「r」がわかりにくいかもしれません。ご注意ください)

異なるn個のものから、順番を気にせずr個選ぶことを「組み合わせ」といいます(nとかrという文字を使うのは慣習です。別に違う文字であっても構いません。)。
順列と違うのは、順番を気にせず、構成要素が同じならばそれらの組は同じものとみなします。

例えば「A,B,C」という3つのものがあったとして、その3つの中から2つを選ぶという組み合わせを考えてみます。
まずは、数式を使わずに考えてみると:
「AとB」・「AとC」・「BとC」
という3つの選び方があるのがわかります。このとき、順番は気にしていないので、構成要素が同じ場合は(例えば「AとB」と「BとA」)は同じものです。

数式ではどう考えたらよいのか。
これはまず「順列」を考えてみます。3個のものから順番をつけて2個選ぶというのは:

という風に6通りあります(数式を使わなくても、最初の選び方は3通り、次の選び方はそれより1つ少ない2通り、それらが同時に起こっているので「3×2=6」通りとなります)。

この6通りというのは:
「A,B」 「B,A」 「A,C」 「C,A」 「B,C」 「C,B」
のことです。

そして、構成要素が同じであるものを同じものとみなすにはどうしたらよいかを考えます。
選んだ2つの要素の順番を考えた選び方が何通りあるかというと、2つのものから順番をつけて2つ選ぶ順列の総数と考えることができるので、それらの総数で割ってあげればよいと考えるのです。
P(2,2) = 2! =2×1 = 2 [通り]
が2つのものから順番をつけて2つを並べる総数なので:
6÷2 = 3 [通り]
というのが、3つのものから順番をつけずに2つを選ぶ選び方の総数になります。

まとめると:

というのが、n個の異なるものから順番をつけずにr個とる総数、つまり組み合わせになります。


※上では「順列」をまず考えましたが、組み合わせを先に考えて、それらに順番をつける総数を考える、という順番で考えてももちろん同じ結果になります。すなわち:

と考えてもよいです。これは、順番をつけずにr個選んだあとにそのr個の順番を考えると、最初からn個のものからr個を順番をつけて選ぶのと等しい、ということを利用して組み合わせの定義を考えたものです。


組み合わせの別の表し方を考えてみます。
P(n,r)とP(r, r)というのは階乗を使うと:

という風に表すこともできたので、組み合わせは:

という風に
「n! / {r!(n-r)!}」
と表すこともできます。

スポンサーサイト

コメントの投稿

非公開コメント

プロフィール

mathgalois

Author:mathgalois
FC2ブログへようこそ!

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
カウンター
QRコード
QR
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。