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数A補足: 順列

5個のものから3つを選んで順番をつけて並べる場合、その並べ方の総数は:
1つ目の選び方は5通り
2つ目の選び方は4通り
3つ目の選び方は3通り
あります。そして、これらは同時に起こっていることなので、総数は「5×4×3=60」通りあることになります。

この順列を、具体的な数字を考えずに一般化してみます。
全体の個数をn個、そこからr個を選んで順番をつけるとします(そのとき、rは0以上n以下になります。rは負の値を取らないし、全体の個数を超えることはないからです)。

図で考えてみます。□の方は順番をつけて並べていて、○の方は選ばれなかったもの、というイメージです:


全体がn個のものからr個選ぶので、選ばれずに残っているものは「n-r」個になります。

1番目の選び方は n   通り
2番目の選び方は n-1 通り (最初の1個以外なので)
3番目の選び方は n-2 通り (先に選ばれた2個以外なので)
...
r番目の選び方は n-r+1通り
になります。

このr番目の選び方が何故この式になるのかは、2つの方向から考えることができます。
まず、r番目を選ぶとき、残っている個数(選択肢の数)は、「(r-1)番目までに選んでしまったもの以外」なので、全体の個数nから(r-1)を引けば、r番目の選び方がわかります。すなわち、「n-(r-1)= n-r+1」となります。

もう一つの考え方は、r番目を選び終わった後に残っているのは「n-r」個なわけですから、r番目の選び方はそれより一つだけ多いはずです。よって、「(n-r)+1 = n-r+1」になります。

したがって:


また:

というように、
「(n!) / (n-r)!」
と書くこともできます。
「n!」というのは、全部の個数を全て順番をつけて並べるときの総数であり、「(n-r)!」というのは、選ばずに残っているものの順番をつけて並べるときの総数です。「n!」を考えたときに、残っているものもすべて順番をつけてしまっているので、それらはすべて同じものだと考えるために、「(n-r)!」で割るのです。そうすれば「P(n, r)」の値がわかります。
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