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高校物理: 加速度・速度・変位

数Ⅲ⑧でも紹介しましたが、加速度、速度、変位の理解には「微積分(微分と積分)」が役立ちます。

これら3つは物体の運動の理解の核となるものです(これら3つ、つまり物体の運動に焦点を絞った分野を運動学(Kinematics)といい、物体の運動だけでなく物体の運動に変化を起こす「力」も考慮するものを力学(Mechanics)といいます。つまり、運動学は力学の一部門です)。

「微積分が理解に役立つ」というのは、速度を時間について微分したものが加速度であり、速度を時間について積分したものが変位である、という関係にあるからです。それら3つはすべて「方向と大きさ」を持っているのでベクトルです(ただし、高校物理では普通のスカラーを扱うように計算してしまいます。)

ここでは、重力加速度を使って、3つのベクトルの関係を確認してみようと思います。重力加速度というのは、地球の重力によって生じる加速度のことで、大体9.8[m /s^2]です(地球のどの位置にいるかによって重力加速度の値は違ってきます)。物を高いところから落とすときなどは、物体にこの重力加速度が一定に働いていることになります(このように加速度が常に一定で変化しない運動のことを「等加速度運動(とうかそくどうんどう)」といいます。

まず加速度「a」はわかっています(加速度を英語でaccelerationというのでその頭文字です):
a = -9.8 [m/s^2]
とします(負の数にしたのは、重力加速度が働く運動は地面に落ちていくので、上にあるほどどんどん値が大きくなっていくと考えるとグラフのy軸と関連しているので考えやすくなるからです)。

このとき速度「v」(velocity)はどうなるかというと、これを時間「t」(time)で積分してあげます:
v = ∫ -9.8 dt = -9.8t +C [m/s] 
です。
Cは積分定数になります。このCは何を意味しているかというと「初速度(しょそくど)」といわれるものです。初速度というのは、観測を始めた時点、つまり時間t=0のときの速度です(物を高いところから落とすときに、そっと手を離すだけで力を加えないならば初速度は0になります)。
初速度は「v0」や「vi」と書かれることが多いです(0やiはvの右下に小さく書かれる添え字です。[i]というのは、初速度のことを英語で「initial velocity」ということからきています)。
よって速度は:
v = -9.8t + v0 [m/s]
となります。

このとき、物体の位置の変化、すなわち変位「s」(変位は英語でdisplacementといいますが、dだとおそらく微分の記号と混乱しやすくなるので、sという文字が使われることが多いです)はこれを時間tについて積分したものになりますから:
s = ∫(-9.8t + v0)dt = (1/2)・(-9.8t^2) + v0t + C [m]
となります。
この場合の積分定数は何を意味しているかというと、観測を始めた時点での物体の位置を表します。 もし、高さ20mの位置から物体を落とすのならば、このCを20で置き換えてあげればよりです。
整理すると:
s = -4.9t^2 + v0t +C [m]
となります。

以上が重力加速度が一定に働く場合の加速度・速度・変位を表す式になります。




例題として次の問題を考えてみます。
高さ29.4mの建物から、そっと手を離して石を落としてみる場合、何秒後に石は地面に到達するか?(ただし、空気抵抗は無視する)

この問題の場合、重力加速度が石に一定に働くので石は等加速度運動をします。また、そっと手を離すので初速度は0であり、地面というのは高さが0の位置と考えることができます。よって、上の変位の式を使い:
s = 0 = -4.9t^2 + 0 + 29.4
という式を解けばよくなります。整理すると:
0 = -4.9t^2 +29.4
両辺に-4/9t^2を足して(=その項を左辺に移項して)、さらに両辺を4.9で割ると:
t^2 = 6
となります。ここで、時間tというのは負の値を取りませんので(-の時間は存在しないので):
t = √6 ≒ 2.45

よって、約2.45秒後に石は地面に到達します。
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